Номер 195, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Даны точки A (-2; 3) и B (6; 5). Найдите координаты точки C такой, что $\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$.

195. Даны точки A (-2; 3) и B (6; 5). Найдите координаты

точки C такой, что $\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$.

Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x; y)$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала. Найдем координаты векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$.

Даны точки $A(-2; 3)$ и $B(6; 5)$.

Координаты вектора $\vec{BC}$:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (x - 6; y - 5)$.

Координаты вектора $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (x - (-2); y - 3) = (x + 2; y - 3)$.

По условию задачи, сумма векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$ равна нулевому вектору $\vec{0}$, который имеет координаты $(0; 0)$.

$\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$

Сложим векторы покомпонентно:

$(x - 6 + x + 2; y - 5 + y - 3) = (0; 0)$

$(2x - 4; 2y - 8) = (0; 0)$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2x - 4 = 0 \\ 2y - 8 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

Из первого уравнения:
$2x = 4$
$x = 2$

Из второго уравнения:
$2y = 8$
$y = 4$

Таким образом, координаты точки $C$ равны $(2; 4)$.

Примечание: Условие $\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$ можно переписать как $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$, или $\vec{AC} = -\vec{BC} = \vec{CB}$. Это означает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ равны, а значит точка $C$ является серединой отрезка $AB$. Проверим это по формуле середины отрезка:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Результаты совпадают.

Ответ: $C(2; 4)$.