Номер 196, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Найдите координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если их сумма имеет координаты $(6; -3)$, а разность — $(-1; 4)$.

196. Найдите координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если их сумма имеет координаты (6; -3), а разность – (–1; 4).

Обозначим искомые векторы как $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Согласно условию задачи, мы имеем систему из двух векторных уравнений:

1) $\vec{a} + \vec{b} = (6; -3)$
2) $\vec{a} - \vec{b} = (-1; 4)$

Для нахождения координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ решим данную систему.

Нахождение координат вектора $\vec{a}$

Сложим почленно первое и второе уравнения системы:
$(\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} - \vec{b}) = (6; -3) + (-1; 4)$

Упростим левую и правую части уравнения. Сложение векторов производится покомпонентно:
$2\vec{a} = (6 + (-1); -3 + 4)$
$2\vec{a} = (5; 1)$

Теперь разделим каждую координату полученного вектора на 2, чтобы найти $\vec{a}$:
$\vec{a} = (\frac{5}{2}; \frac{1}{2}) = (2.5; 0.5)$

Нахождение координат вектора $\vec{b}$

Вычтем почленно второе уравнение из первого:
$(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} - \vec{b}) = (6; -3) - (-1; 4)$

Упростим левую и правую части. Вычитание векторов также производится покомпонентно:
$\vec{a} + \vec{b} - \vec{a} + \vec{b} = (6 - (-1); -3 - 4)$
$2\vec{b} = (7; -7)$

Разделим каждую координату полученного вектора на 2, чтобы найти $\vec{b}$:
$\vec{b} = (\frac{7}{2}; -\frac{7}{2}) = (3.5; -3.5)$

Ответ: $\vec{a} = (2.5; 0.5)$, $\vec{b} = (3.5; -3.5)$.