Номер 197, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 68). Выразите векторы $ \vec{BC} $ и $ \vec{DC} $ через векторы $ \vec{AO} = \vec{a} $ и $ \vec{OB} = \vec{b} $.

Рис. 68

197. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 68). Выразите векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DC}$ через векторы $\vec{AO} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

Рис. 68

Для решения задачи воспользуемся свойствами диагоналей параллелограмма и правилами действий с векторами.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. $\overrightarrow{AO} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$.

1. Свойства диагоналей параллелограмма:

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

• Из того, что $O$ — середина $AC$, следует, что векторы $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OC}$ равны: $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AO}$. Поскольку по условию $\overrightarrow{AO} = \vec{a}$, то $\overrightarrow{OC} = \vec{a}$.
• Из того, что $O$ — середина $BD$, следует, что векторы $\overrightarrow{BO}$ и $\overrightarrow{OD}$ равны: $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BO}$. Вектор $\overrightarrow{BO}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{OB}$, поэтому $\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{OB}$. Так как по условию $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, получаем $\overrightarrow{BO} = -\vec{b}$.

2. Правила действий с векторами:

• Правило треугольника: $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ}$.
• Правило вычитания векторов: $\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}$, где $O$ — произвольная точка.
• Векторы противоположных сторон параллелограмма равны: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

Теперь выразим искомые векторы.

Рассмотрим векторы в треугольнике $BOC$. По правилу вычитания векторов, исходящих из одной точки $O$:

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$

Мы уже установили, что $\overrightarrow{OC} = \vec{a}$, а по условию $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$. Подставим эти значения в формулу:

$\overrightarrow{BC} = \vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{BC} = \vec{a} - \vec{b}$.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, их представляющие, равны:

$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

Чтобы найти вектор $\overrightarrow{AB}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника) в треугольнике $AOB$:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$

Подставим векторы, данные в условии задачи: $\overrightarrow{AO} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$:

$\overrightarrow{AB} = \vec{a} + \vec{b}$

Так как $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$, то:

$\overrightarrow{DC} = \vec{a} + \vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{DC} = \vec{a} + \vec{b}$.