Номер 199, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Найдите геометрическое место точек $C (x; y)$ координатной плоскости таких, что для точек $A (3; -5)$ и $B (-6; 7)$ выполняется равенство $|\vec{AC}| = |\vec{AB}|.$

199. Найдите геометрическое место точек C (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (3; -5) и B (-6; 7) выполняется равенство $\left|\overrightarrow{AC}\right| = \left|\overrightarrow{AB}\right|.$

Условие $|\vec{AC}| = |\vec{AB}|$ означает, что расстояние от искомой точки $C(x; y)$ до точки $A(3; -5)$ равно расстоянию между заданными точками $A(3; -5)$ и $B(-6; 7)$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от одной данной точки (центра), является окружностью. В данном случае центром является точка A, а радиус равен расстоянию между точками A и B.

Вычислим этот радиус, который равен длине (модулю) вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся как разность соответствующих координат его конца и начала: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-6 - 3; 7 - (-5)) = (-9; 12)$.

Длина вектора $\vec{v}(v_x; v_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Тогда длина вектора $\vec{AB}$ равна:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-9)^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Теперь найдем длину вектора $\vec{AC}$. Координаты вектора $\vec{AC}$ равны:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (x - 3; y - (-5)) = (x - 3; y + 5)$.

Его длина равна:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 5)^2}$.

Приравняем длины векторов согласно условию $|\vec{AC}| = |\vec{AB}|$:

$\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 5)^2} = 15$.

Чтобы получить уравнение искомого геометрического места точек, возведем обе части равенства в квадрат:

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 15^2$

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 225$.

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(3; -5)$, что соответствует координатам точки A, и радиусом $r = 15$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в точке A(3; -5) и радиусом 15. Уравнение этой окружности: $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 225$.