Номер 206, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Точки M и K – середины сторон CD и AD параллелограмма ABCD (рис. 70). Выразите вектор $ \overrightarrow{MK} $ через векторы $ \overrightarrow{AB} = \vec{a} $ и $ \overrightarrow{CB} = \vec{b} $.

Рис. 70

206. Точки M и K — середины сторон CD и AD параллелограмма ABCD (рис. 70). Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{CB} = \vec{b}$.

Рис. 70

Для того чтобы выразить вектор $\vec{MK}$, представим его в виде суммы векторов, проходящих через вершины параллелограмма. Удобно использовать правило ломаной (или многоугольника) для сложения векторов. Выберем путь из точки M в точку K через точку D:

$\vec{MK} = \vec{MD} + \vec{DK}$

Теперь выразим векторы $\vec{MD}$ и $\vec{DK}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{CB}$.

Поскольку точка M — середина стороны CD, то вектор $\vec{MD}$ равен половине вектора $\vec{CD}$ и сонаправлен с ним:$\vec{MD} = \frac{1}{2}\vec{CD}$.
В параллелограмме ABCD противолежащие стороны параллельны и равны. Вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.Следовательно, $\vec{CD} = -\vec{a}$, и тогда:$\vec{MD} = \frac{1}{2}(-\vec{a}) = -\frac{1}{2}\vec{a}$.

Поскольку точка K — середина стороны AD, то вектор $\vec{DK}$ равен половине вектора $\vec{DA}$ и сонаправлен с ним:$\vec{DK} = \frac{1}{2}\vec{DA}$.
В параллелограмме ABCD вектор $\vec{DA}$ равен вектору $\vec{CB}$. По условию $\vec{CB} = \vec{b}$.Следовательно, $\vec{DA} = \vec{b}$, и тогда:$\vec{DK} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Теперь подставим найденные выражения для $\vec{MD}$ и $\vec{DK}$ в исходное равенство для $\vec{MK}$:$\vec{MK} = \vec{MD} + \vec{DK} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

Вынесем общий множитель за скобки:$\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$.

Ответ: $\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$.