Номер 209, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены такие точки K и M соответственно, что $AK : KB = 2 : 5$, $AM : MC = 4 : 3$. Выразите векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{BC}$, $\vec{CK}$ и $\vec{MB}$ через векторы $\vec{AK} = \vec{a}$ и $\vec{CM} = \vec{c}$.

209. На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены такие точки K и M соответственно, что AK : KB = 2 : 5, AM : MC = 4 : 3. Выразите векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CK}$ и $\overrightarrow{MB}$ через векторы $\overrightarrow{AK} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{CM} = \vec{c}$.

По условию задачи даны следующие соотношения:

1. Точка K лежит на стороне AB, и $AK : KB = 2 : 5$. Вектор $\vec{AK} = \vec{a}$.

2. Точка M лежит на стороне AC, и $AM : MC = 4 : 3$. Вектор $\vec{CM} = \vec{c}$.

На основе этих данных выразим требуемые векторы.

$\vec{AB}$

Поскольку точка K лежит на отрезке AB, векторы $\vec{AK}$ и $\vec{KB}$ сонаправлены. Из соотношения длин $AK : KB = 2 : 5$ следует, что $|\vec{KB}| = \frac{5}{2} |\vec{AK}|$. Значит, $\vec{KB} = \frac{5}{2} \vec{AK}$.

Так как $\vec{AK} = \vec{a}$, получаем $\vec{KB} = \frac{5}{2} \vec{a}$.

Вектор $\vec{AB}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AK}$ и $\vec{KB}$:

$\vec{AB} = \vec{AK} + \vec{KB} = \vec{a} + \frac{5}{2} \vec{a} = \frac{7}{2} \vec{a}$.

Ответ: $\vec{AB} = \frac{7}{2} \vec{a}$

$\vec{AC}$

Точка M лежит на отрезке AC, поэтому векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MC}$ сонаправлены. Из соотношения длин $AM : MC = 4 : 3$ следует, что $|\vec{AM}| = \frac{4}{3} |\vec{MC}|$. Значит, $\vec{AM} = \frac{4}{3} \vec{MC}$.

По условию $\vec{CM} = \vec{c}$, следовательно, $\vec{MC} = -\vec{CM} = -\vec{c}$.

Тогда $\vec{AM} = \frac{4}{3} (-\vec{c}) = -\frac{4}{3} \vec{c}$.

Вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AM}$ и $\vec{MC}$:

$\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC} = -\frac{4}{3} \vec{c} + (-\vec{c}) = -\frac{7}{3} \vec{c}$.

Ответ: $\vec{AC} = -\frac{7}{3} \vec{c}$

$\vec{BC}$

По правилу треугольника для векторов $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}$.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\frac{7}{2} \vec{a}$.

Вектор $\vec{AC}$ мы уже нашли: $\vec{AC} = -\frac{7}{3} \vec{c}$.

Сложив векторы, получим:

$\vec{BC} = -\frac{7}{2} \vec{a} - \frac{7}{3} \vec{c}$.

Ответ: $\vec{BC} = -\frac{7}{2} \vec{a} - \frac{7}{3} \vec{c}$

$\vec{CK}$

По правилу треугольника для векторов $\vec{CK} = \vec{CA} + \vec{AK}$.

Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, поэтому $\vec{CA} = -\vec{AC} = -(-\frac{7}{3} \vec{c}) = \frac{7}{3} \vec{c}$.

Вектор $\vec{AK}$ дан по условию: $\vec{AK} = \vec{a}$.

Сложив векторы, получим:

$\vec{CK} = \frac{7}{3} \vec{c} + \vec{a} = \vec{a} + \frac{7}{3} \vec{c}$.

Ответ: $\vec{CK} = \vec{a} + \frac{7}{3} \vec{c}$

$\vec{MB}$

По правилу треугольника для векторов $\vec{MB} = \vec{MA} + \vec{AB}$.

Вектор $\vec{MA}$ противоположен вектору $\vec{AM}$. Ранее мы нашли, что $\vec{AM} = -\frac{4}{3} \vec{c}$, значит $\vec{MA} = -(-\frac{4}{3} \vec{c}) = \frac{4}{3} \vec{c}$.

Вектор $\vec{AB}$ также был найден ранее: $\vec{AB} = \frac{7}{2} \vec{a}$.

Сложив векторы, получим:

$\vec{MB} = \frac{4}{3} \vec{c} + \frac{7}{2} \vec{a} = \frac{7}{2} \vec{a} + \frac{4}{3} \vec{c}$.

Ответ: $\vec{MB} = \frac{7}{2} \vec{a} + \frac{4}{3} \vec{c}$