Номер 211, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

211. Коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если $A (-1; 5)$, $B (-3; 7)$, $C (4; -2)$, $D (-1; 3)$?

211. Коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если A $(-1; 5)$, B $(-3; 7)$, C $(4; -2)$, D $(-1; 3)$?

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы, необходимо найти их координаты и проверить, являются ли эти координаты пропорциональными. Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ называются коллинеарными, если существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, то есть $x_1 = kx_2$ и $y_1 = ky_2$. Это условие эквивалентно равенству отношений их координат: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$ (при условии, что $x_2 \neq 0$ и $y_2 \neq 0$).

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из соответствующих координат конечной точки.

Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(-1; 5)$ и концом в точке $B(-3; 7)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-3 - (-1); 7 - 5) = (-3 + 1; 2) = (-2; 2)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$.

Для вектора $\vec{CD}$ с началом в точке $C(4; -2)$ и концом в точке $D(-1; 3)$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (-1 - 4; 3 - (-2)) = (-5; 3 + 2) = (-5; 5)$.

3. Проверим условие коллинеарности для векторов $\vec{AB}(-2; 2)$ и $\vec{CD}(-5; 5)$.

Для этого составим и сравним отношения их соответствующих координат:

Отношение x-координат: $\frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$.

Отношение y-координат: $\frac{2}{5}$.

Поскольку отношения координат равны ($\frac{2}{5} = \frac{2}{5}$), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ пропорциональны, а следовательно, коллинеарны.

Ответ: да, векторы коллинеарны.