Номер 217, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(1;-4)$, $B(2;1)$, $C(5;3)$ и $D(10;2)$ является трапецией.

217. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(1; -4)$, $B(2; 1)$, $C(5; 3)$ и $D(10; 2)$ является трапецией.

По определению, трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является трапецией, нужно найти угловые коэффициенты его сторон и сравнить их. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Заданы вершины четырёхугольника: A(1; -4), B(2; 1), C(5; 3) и D(10; 2). Вычислим угловые коэффициенты для каждой пары противоположных сторон.

1. Проверим параллельность сторон BC и AD.

Найдём угловой коэффициент стороны BC:
$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{3 - 1}{5 - 2} = \frac{2}{3}$

Найдём угловой коэффициент стороны AD:
$k_{AD} = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{2 - (-4)}{10 - 1} = \frac{2 + 4}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Так как $k_{BC} = k_{AD} = \frac{2}{3}$, то стороны BC и AD параллельны (BC || AD).

2. Проверим параллельность сторон AB и CD.

Найдём угловой коэффициент стороны AB:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - (-4)}{2 - 1} = \frac{1 + 4}{1} = 5$

Найдём угловой коэффициент стороны CD:
$k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{2 - 3}{10 - 5} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}$

Так как $k_{AB} \neq k_{CD}$ ($5 \neq -\frac{1}{5}$), то стороны AB и CD не параллельны.

Поскольку у четырёхугольника ABCD есть одна пара параллельных сторон (BC и AD) и одна пара непараллельных сторон (AB и CD), он является трапецией.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является трапецией, так как его стороны BC и AD параллельны (их угловые коэффициенты равны), а стороны AB и CD не параллельны (их угловые коэффициенты не равны).