Номер 222, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $135^\circ$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 7$.

Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$.

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $135^\circ$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=7$.

Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$.

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Скалярное произведение двух векторов определяется формулой:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
По условию задачи нам даны:
$|\vec{a}| = 3$
$|\vec{b}| = 7$
$\alpha = 135^{\circ}$
Найдем значение косинуса угла:
$\cos(135^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos(45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь подставим все значения в формулу скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 7 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{21\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{21\sqrt{2}}{2}$.

2) $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$

Для нахождения этого скалярного произведения воспользуемся его свойствами. Раскроем скобки, используя дистрибутивный закон:
$(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a} = (2\vec{b}) \cdot \vec{a} + (5\vec{a}) \cdot \vec{a}$.
Вынесем скалярные множители (числа 2 и 5) за знак скалярного произведения:
$2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 5(\vec{a} \cdot \vec{a})$.
Скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$. А скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
Получаем выражение:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 5|\vec{a}|^2$.
Из пункта 1 мы знаем, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{21\sqrt{2}}{2}$.
По условию $|\vec{a}| = 3$, следовательно $|\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$.
Подставим найденные значения в выражение:
$2 \cdot (-\frac{21\sqrt{2}}{2}) + 5 \cdot 9 = -21\sqrt{2} + 45$.
Ответ: $45 - 21\sqrt{2}$.