Номер 227, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Медианы $AM$ и $BD$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 12 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $ \vec{CB} $ и $ \vec{CA} $;

2) $ \vec{CB} $ и $ \vec{AB} $;

3) $ \vec{AM} $ и $ \vec{BC} $;

4) $ \vec{OA} $ и $ \vec{OB} $;

5) $ \vec{AM} $ и $ \vec{OD} $;

6) $ \vec{OA} $ и $ \vec{OM} $.

227. Медианы $AM$ и $BD$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 12 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$;

2) $\vec{CB}$ и $\vec{AB}$;

3) $\vec{AM}$ и $\vec{BC}$;

4) $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$;

5) $\vec{AM}$ и $\vec{OD}$;

6) $\vec{OA}$ и $\vec{OM}$.

Для решения задачи сначала найдем некоторые ключевые параметры правильного треугольника ABC со стороной $a=12$ см.

1. Длина медианы. В правильном треугольнике медиана также является высотой. Найдем длину медианы $AM$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $AMC$, где $AC = 12$ см, а $MC = BC/2 = 12/2 = 6$ см.

$|AM| = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см.

Так как треугольник правильный, все медианы равны: $|AM| = |BD| = 6\sqrt{3}$ см.

2. Свойства точки пересечения медиан O. Точка O (центроид) делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

$|AO| = \frac{2}{3} |AM| = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

$|OM| = \frac{1}{3} |AM| = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Аналогично, $|BO| = 4\sqrt{3}$ см и $|OD| = 2\sqrt{3}$ см.

3. Углы.

- Углы правильного треугольника равны $60^\circ$.

- Медианы в правильном треугольнике также являются биссектрисами, поэтому они пересекаются под углом $120^\circ$ (например, $\angle AOB = 120^\circ$) и смежными с ним углами $60^\circ$ (например, $\angle AOD = 60^\circ$).

- Медиана в правильном треугольнике перпендикулярна стороне, к которой проведена, т.е. $AM \perp BC$.

Теперь вычислим скалярные произведения, используя формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между векторами.

1) $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CA}$

Векторы исходят из одной точки C. Угол между ними равен углу треугольника $\angle BCA = 60^\circ$.

$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{CB}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 72$.

Ответ: 72

2) $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{AB}$

Чтобы найти угол между векторами, приведем их к общему началу. Заметим, что $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$.

$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB} = (-\overrightarrow{BC}) \cdot (-\overrightarrow{BA}) = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}$.

Векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BA}$ выходят из одной точки B, угол между ними $\angle ABC = 60^\circ$.

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{BA}| \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 72$.

Ответ: 72

3) $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{BC}$

В правильном треугольнике медиана $AM$ является также и высотой, проведенной к стороне $BC$. Следовательно, прямые $AM$ и $BC$ перпендикулярны, и угол между векторами $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{BC}$ равен $90^\circ$.

$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot 12 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

4) $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$

Векторы исходят из одной точки O. Угол между медианами, выходящими из вершин, в правильном треугольнике равен $120^\circ$. То есть, $\angle AOB = 120^\circ$.

$|\overrightarrow{OA}| = 4\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{OB}| = 4\sqrt{3}$.

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot \cos(120^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = 16 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 48 \cdot (-\frac{1}{2}) = -24$.

Ответ: -24

5) $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{OD}$

Вектор $\overrightarrow{AM}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{OM}$. Вектор $\overrightarrow{OD}$ лежит на медиане $BD$. Угол между направлениями векторов $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{OD}$ равен углу $\angle MOD$. Угол $\angle MOD$ является вертикальным с углом $\angle AOB$, значит $\angle MOD = \angle AOB = 120^\circ$.

$|\overrightarrow{AM}| = 6\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{OD}| = 2\sqrt{3}$.

$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{OD} = |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{OD}| \cdot \cos(120^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = 12 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 36 \cdot (-\frac{1}{2}) = -18$.

Ответ: -18

6) $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OM}$

Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OM}$ лежат на одной прямой (медиане $AM$), но направлены в противоположные стороны. Следовательно, угол между ними равен $180^\circ$.

$|\overrightarrow{OA}| = 4\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{OM}| = 2\sqrt{3}$.

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OM} = |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OM}| \cdot \cos(180^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot (-1) = 8 \cdot 3 \cdot (-1) = -24$.

Ответ: -24