Номер 232, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

232. Даны векторы $\vec{a}(3;-5)$ и $\vec{b}(4;-1)$. Найдите значение $k$, при котором векторы $k\vec{a}-\vec{b}$ и $\vec{a}$ перпендикулярны.

232. Даны векторы $\vec{a}(3; -5)$ и $\vec{b}(4; -1)$. Найдите значение $k$, при котором векторы $k\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a}$ перпендикулярны.

По условию задачи даны векторы $\vec{a}(3; -5)$ и $\vec{b}(4; -1)$. Нам необходимо найти значение $k$, при котором векторы $k\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a}$ перпендикулярны.

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю.
Таким образом, мы должны найти такое значение $k$, при котором будет выполняться равенство:
$(k\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

1. Найдём координаты вектора $k\vec{a} - \vec{b}$
Сначала умножим координаты вектора $\vec{a}$ на скаляр $k$:
$k\vec{a} = k \cdot (3; -5) = (3k; -5k)$
Затем вычтем из полученного вектора вектор $\vec{b}$:
$k\vec{a} - \vec{b} = (3k; -5k) - (4; -1) = (3k - 4; -5k - (-1)) = (3k - 4; -5k + 1)$

2. Составим и решим уравнение на основе скалярного произведения
Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.
Подставим координаты векторов $k\vec{a} - \vec{b} = (3k - 4; -5k + 1)$ и $\vec{a} = (3; -5)$ в условие равенства скалярного произведения нулю:
$(3k - 4) \cdot 3 + (-5k + 1) \cdot (-5) = 0$
Раскроем скобки:
$9k - 12 + 25k - 5 = 0$
Приведём подобные слагаемые:
$34k - 17 = 0$
Решим полученное линейное уравнение:
$34k = 17$
$k = \frac{17}{34}$
$k = \frac{1}{2}$

Таким образом, при $k = \frac{1}{2}$ векторы $k\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a}$ перпендикулярны.
Ответ: $k = \frac{1}{2}$.