Номер 231, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Найдите координаты вектора, который перпендикулярен вектору $ \vec{a}(3; -1) $ и модуль которого равен модулю вектора $ \vec{a} $.

231. Найдите координаты вектора, который перпендикулярен вектору $ \vec{a}(3; -1) $ и модуль которого равен модулю вектора $ \vec{a} $.

Пусть искомый вектор имеет координаты $\vec{b}(x; y)$.

Согласно условию задачи, вектор $\vec{b}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{a}(3; -1)$. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$.

Подставим координаты данных векторов в формулу:

$3 \cdot x + (-1) \cdot y = 0$

$3x - y = 0$

Из этого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x$ (1)

Второе условие задачи гласит, что модуль (длина) искомого вектора $\vec{b}$ должен быть равен модулю вектора $\vec{a}$.

Модуль вектора с координатами $(x_v; y_v)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x_v^2 + y_v^2}$.

Сначала найдем модуль вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Модуль вектора $\vec{b}$ равен $|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Приравняем модули векторов $|\vec{b}| = |\vec{a}|$:

$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{10}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x^2 + y^2 = 10$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} y = 3x \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x^2 + (3x)^2 = 10$

$x^2 + 9x^2 = 10$

$10x^2 = 10$

$x^2 = 1$

Это уравнение имеет два решения для $x$:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$, используя уравнение $y = 3x$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 3 \cdot 1 = 3$. Координаты первого возможного вектора: $(1; 3)$.

2. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 3 \cdot (-1) = -3$. Координаты второго возможного вектора: $(-1; -3)$.

Таким образом, мы нашли два вектора, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: $(1; 3)$ и $(-1; -3)$.