Номер 236, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A(-5; -2)$, $B(-1; 2)$, $C(2; -1)$ и $D(-2; -5)$ является прямоугольником.

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-5; -2)$, $B (-1; 2)$, $C (2; -1)$ и $D (-2; -5)$ является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, можно воспользоваться одним из его свойств. Например, доказать, что это параллелограмм, у которого равны диагонали, или что это параллелограмм, у которого есть прямой угол. Воспользуемся вторым подходом.

1. Докажем, что ABCD – параллелограмм.
Четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны параллельны. Параллельность прямых можно определить по их угловым коэффициентам. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдём угловые коэффициенты сторон AB и CD:
$k_{AB} = \frac{2 - (-2)}{-1 - (-5)} = \frac{4}{4} = 1$.
$k_{CD} = \frac{-5 - (-1)}{-2 - 2} = \frac{-4}{-4} = 1$.
Так как $k_{AB} = k_{CD}$, то стороны AB и CD параллельны.

Найдём угловые коэффициенты сторон BC и AD:
$k_{BC} = \frac{-1 - 2}{2 - (-1)} = \frac{-3}{3} = -1$.
$k_{AD} = \frac{-5 - (-2)}{-2 - (-5)} = \frac{-3}{3} = -1$.
Так как $k_{BC} = k_{AD}$, то стороны BC и AD параллельны.

Поскольку противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны, то ABCD – параллелограмм.

2. Проверим наличие прямого угла.
Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1. Проверим это условие для смежных сторон, например, AB и BC.

$k_{AB} \cdot k_{BC} = 1 \cdot (-1) = -1$.

Так как произведение угловых коэффициентов смежных сторон AB и BC равно -1, эти стороны перпендикулярны, то есть угол $\angle B = 90^{\circ}$.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, что и требовалось доказать.