Номер 240, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

240. Найдите геометрическое место точек N (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (-4; 5) и B (2; 1) выполняется равенство:

1) $\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$;

2) $\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{BN} = 6$.

240. Найдите геометрическое место точек N (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (-4; 5) и B (2; 1) выполняется равенство:

1) $\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{AB} = 0;$

2) $\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{BN} = 6.$

1)

Геометрическое место точек $N(x; y)$ определяется равенством $\vec{AN} \cdot \vec{AB} = 0$.

Сначала найдем координаты векторов $\vec{AN}$ и $\vec{AB}$.

Имеем точки $A(-4; 5)$, $B(2; 1)$ и $N(x; y)$.

Координаты вектора $\vec{AN}$ находятся как разность координат конца и начала вектора:

$\vec{AN} = (x - (-4); y - 5) = (x + 4; y - 5)$.

Аналогично для вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (2 - (-4); 1 - 5) = (6; -4)$.

Скалярное произведение векторов в координатах равно сумме произведений их соответствующих координат. Запишем условие $\vec{AN} \cdot \vec{AB} = 0$ в координатной форме:

$(x + 4) \cdot 6 + (y - 5) \cdot (-4) = 0$.

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$6x + 24 - 4y + 20 = 0$

$6x - 4y + 44 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$3x - 2y + 22 = 0$.

Полученное уравнение является уравнением прямой. Условие равенства нулю скалярного произведения означает, что векторы $\vec{AN}$ и $\vec{AB}$ перпендикулярны. Таким образом, искомое геометрическое место точек — это прямая, проходящая через точку $A$ перпендикулярно вектору $\vec{AB}$.

Ответ: $3x - 2y + 22 = 0$ (прямая).

2)

Геометрическое место точек $N(x; y)$ определяется равенством $\vec{AN} \cdot \vec{BN} = 6$.

Найдем координаты векторов $\vec{AN}$ и $\vec{BN}$.

$\vec{AN} = (x + 4; y - 5)$.

$\vec{BN} = (x - 2; y - 1)$.

Запишем скалярное произведение $\vec{AN} \cdot \vec{BN}$ в координатной форме:

$(x + 4)(x - 2) + (y - 5)(y - 1) = 6$.

Раскроем скобки:

$(x^2 - 2x + 4x - 8) + (y^2 - y - 5y + 5) = 6$

$x^2 + 2x - 8 + y^2 - 6y + 5 = 6$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x + y^2 - 6y - 3 - 6 = 0$

$x^2 + 2x + y^2 - 6y - 9 = 0$.

Чтобы определить вид кривой, которую задает это уравнение, выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$:

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 6y + 9) - 9 - 9 = 0$

$(x + 1)^2 - 1 + (y - 3)^2 - 18 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 19$.

Это каноническое уравнение окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — центр окружности, а $R$ — ее радиус.

В нашем случае центр окружности находится в точке $(-1; 3)$, а квадрат радиуса $R^2 = 19$, следовательно, радиус $R = \sqrt{19}$.

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 19$ (окружность с центром в точке $(-1; 3)$ и радиусом $\sqrt{19}$).