Номер 234, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 3\vec{m} - \vec{n}$, если $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 3\vec{m} - \vec{n}$, если $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

Даны векторы $\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 3\vec{m} - \vec{n}$.

По условию, $|\vec{m}| = 1$, $|\vec{n}| = 1$ и векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ перпендикулярны ($\vec{m} \perp \vec{n}$).

Из перпендикулярности векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ следует, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (3\vec{m} - \vec{n})$

Используя свойства скалярного произведения, раскроем скобки:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\vec{m} \cdot 3\vec{m} - 2\vec{m} \cdot \vec{n} + 3\vec{n} \cdot 3\vec{m} - 3\vec{n} \cdot \vec{n}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9(\vec{n} \cdot \vec{m}) - 3(\vec{n} \cdot \vec{n})$

Учитывая, что $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$ и $\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} = 0$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6|\vec{m}|^2 + 7(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{m}| = 1$ и $|\vec{n}| = 1$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6(1)^2 + 7(0) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3$.

Найдем длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Длина вектора находится через скалярный квадрат: $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}^2} = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$.

Для вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = (2\vec{m} + 3\vec{n})^2 = (2\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (2\vec{m} + 3\vec{n})$

$|\vec{a}|^2 = 4(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 12(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9(\vec{n} \cdot \vec{n})$

$|\vec{a}|^2 = 4|\vec{m}|^2 + 12(0) + 9|\vec{n}|^2 = 4(1)^2 + 9(1)^2 = 4 + 9 = 13$.

Таким образом, $|\vec{a}| = \sqrt{13}$.

Для вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = (3\vec{m} - \vec{n})^2 = (3\vec{m} - \vec{n}) \cdot (3\vec{m} - \vec{n})$

$|\vec{b}|^2 = 9(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + (\vec{n} \cdot \vec{n})$

$|\vec{b}|^2 = 9|\vec{m}|^2 - 6(0) + |\vec{n}|^2 = 9(1)^2 + (1)^2 = 9 + 1 = 10$.

Таким образом, $|\vec{b}| = \sqrt{10}$.

Вычислим косинус угла

Подставляем найденные значения в исходную формулу:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{3}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{130}}$.

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{130}}$