Номер 238, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Скалярное произведение векторов. Вариант 3. Упражнения - номер 238, страница 92.

Условие 2017.

238. Каким треугольником, остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, является треугольник $ABC$, если $A (1; -4), B (4; 7), C (-2; 1)$?

Условие 2021.

238. Каким треугольником, остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, является треугольник $ABC$, если $A (1; -4)$, $B (4; 7)$, $C (-2; 1)?$

Решение.

Решение 2 (2021).

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Сначала найдем квадраты длин сторон треугольника $ABC$ по формуле квадрата расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Даны вершины треугольника: $A(1; -4)$, $B(4; 7)$, $C(-2; 1)$.

1. Найдем квадрат длины стороны $AB$:

$AB^2 = (4 - 1)^2 + (7 - (-4))^2 = 3^2 + (7 + 4)^2 = 3^2 + 11^2 = 9 + 121 = 130$.

2. Найдем квадрат длины стороны $BC$:

$BC^2 = (-2 - 4)^2 + (1 - 7)^2 = (-6)^2 + (-6)^2 = 36 + 36 = 72$.

3. Найдем квадрат длины стороны $AC$:

$AC^2 = (-2 - 1)^2 + (1 - (-4))^2 = (-3)^2 + (1 + 4)^2 = (-3)^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$.

Теперь сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон. Наибольшая сторона - $AB$, так как $AB^2 = 130$ является наибольшим значением.

Сравним $AB^2$ с $BC^2 + AC^2$:

$130$ и $72 + 34$

$130$ и $106$

Поскольку $130 > 106$, то $AB^2 > BC^2 + AC^2$.

Согласно следствию из теоремы косинусов, если квадрат одной стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является тупым. В данном случае угол $C$, лежащий против стороны $AB$, тупой.

Следовательно, треугольник $ABC$ является тупоугольным.

Ответ: тупоугольным.