Номер 233, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

233. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=4$, $\angle(\vec{a}, \vec{b})=45^\circ$. Найдите:

1) $|\vec{a}-\vec{b}|$;

2) $|\vec{a}+4\vec{b}|$.

233. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=4$, $\angle(\vec{a}, \vec{b})=45^\circ$. Найдите:

1) $|\vec{a}-\vec{b}|;$

2) $|\vec{a}+4\vec{b}|.$

Для решения задачи воспользуемся свойством скалярного произведения векторов: квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора, то есть $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$. Также нам понадобится формула скалярного произведения через модули векторов и косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$.

1) $|\vec{a}-\vec{b}|$

Найдем квадрат модуля вектора $\vec{a}-\vec{b}$:

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 5^2 - 2(10\sqrt{2}) + 4^2 = 25 - 20\sqrt{2} + 16 = 41 - 20\sqrt{2}$.

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти модуль вектора:

$|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{41 - 20\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt{41 - 20\sqrt{2}}$

2) $|\vec{a}+4\vec{b}|$

Аналогично найдем квадрат модуля вектора $\vec{a}+4\vec{b}$:

$|\vec{a}+4\vec{b}|^2 = (\vec{a}+4\vec{b}) \cdot (\vec{a}+4\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot 4 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (4\vec{b}) \cdot (4\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|\vec{a}+4\vec{b}|^2 = 5^2 + 8(10\sqrt{2}) + 16 \cdot 4^2 = 25 + 80\sqrt{2} + 16 \cdot 16 = 25 + 80\sqrt{2} + 256 = 281 + 80\sqrt{2}$.

Извлечем квадратный корень:

$|\vec{a}+4\vec{b}| = \sqrt{281 + 80\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt{281 + 80\sqrt{2}}$