Номер 229, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(3; y)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

229. Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(3; y)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(3; y)$. Тип угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами (острый, прямой или тупой) определяется знаком их скалярного произведения, так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, а длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда положительны.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b = 4 \cdot 3 + (-7) \cdot y = 12 - 7y$.

Теперь рассмотрим каждый случай в отдельности.

1) острый

Угол между векторами является острым, если $0^\circ < \theta < 90^\circ$. В этом случае $\cos\theta > 0$, а значит, скалярное произведение векторов должно быть положительным: $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.

Решим неравенство: $12 - 7y > 0$ $-7y > -12$

При делении на отрицательное число (-7) знак неравенства меняется на противоположный: $y < \frac{-12}{-7}$ $y < \frac{12}{7}$

Ответ: угол острый при $y < \frac{12}{7}$.

2) прямой

Угол между векторами является прямым, если $\theta = 90^\circ$. В этом случае $\cos\theta = 0$, а значит, скалярное произведение векторов должно быть равно нулю. Это условие перпендикулярности векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Решим уравнение: $12 - 7y = 0$ $-7y = -12$ $y = \frac{-12}{-7}$ $y = \frac{12}{7}$

Ответ: угол прямой при $y = \frac{12}{7}$.

3) тупой

Угол между векторами является тупым, если $90^\circ < \theta < 180^\circ$. В этом случае $\cos\theta < 0$, а значит, скалярное произведение векторов должно быть отрицательным: $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Решим неравенство: $12 - 7y < 0$ $-7y < -12$

При делении на отрицательное число (-7) знак неравенства меняется на противоположный: $y > \frac{-12}{-7}$ $y > \frac{12}{7}$

Ответ: угол тупой при $y > \frac{12}{7}$.