Номер 223, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $ 120^\circ $, $ |\vec{a}|=|\vec{b}|=1 $.
Найдите скалярное произведение $ (\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}-\vec{b}) $.

223. Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $120^\circ$, $ |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 $.
Найдите скалярное произведение $ (\vec{a} + 2\vec{b})(\vec{a} - \vec{b}) $.

Для того чтобы найти скалярное произведение $(\vec{a} + 2\vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$, раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b}$

Используем следующие свойства скалярного произведения:

1. Коммутативность: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля): $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Применяя эти свойства, упростим выражение:

$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2$

Теперь найдем значение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$ по определению:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между векторами.

По условию задачи $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$ и $\theta = 120^{\circ}$.

$\cos(120^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -\frac{1}{2}$

Тогда,

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$

Подставим все известные значения в наше упрощенное выражение:

$|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 1^2 + (-\frac{1}{2}) - 2 \cdot 1^2 = 1 - \frac{1}{2} - 2 = -1 - \frac{1}{2} = -1.5$

Ответ: $-1.5$