Номер 216, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

216. Найдите координаты вектора $ \vec{m} $, коллинеарного вектору $ \vec{n}(8; -15) $, если $ |\vec{m}| = 51 $.

216. Найдите координаты вектора $\vec{m}$, коллинеарного вектору $\vec{n}(8; -15)$, если $|\vec{m}| = 51$.

Поскольку векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ коллинеарны, то существует такое число $k$, что выполняется равенство $\vec{m} = k \cdot \vec{n}$.

Координаты вектора $\vec{m}$ будут равны координатам вектора $\vec{n}$, умноженным на коэффициент $k$:

$\vec{m} = (k \cdot 8; k \cdot (-15)) = (8k; -15k)$.

Длина (модуль) вектора $\vec{v}(v_x; v_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. По условию задачи, длина вектора $\vec{m}$ равна 51, то есть $|\vec{m}| = 51$.

Выразим длину вектора $\vec{m}$ через его координаты $(8k; -15k)$:

$|\vec{m}| = \sqrt{(8k)^2 + (-15k)^2} = \sqrt{64k^2 + 225k^2} = \sqrt{289k^2}$.

Так как $\sqrt{289} = 17$ и $\sqrt{k^2} = |k|$, получаем:

$|\vec{m}| = 17|k|$.

Теперь приравняем известное значение длины и полученное выражение:

$17|k| = 51$.

Отсюда найдем модуль коэффициента $k$:

$|k| = \frac{51}{17} = 3$.

Это означает, что $k$ может быть равен $3$ или $-3$. Найдем координаты вектора $\vec{m}$ для каждого из этих случаев.

1. Если $k = 3$, то:

$\vec{m} = (8 \cdot 3; -15 \cdot 3) = (24; -45)$.

2. Если $k = -3$, то:

$\vec{m} = (8 \cdot (-3); -15 \cdot (-3)) = (-24; 45)$.

Таким образом, существуют два вектора, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: $(24; -45)$ или $(-24; 45)$.