Номер 215, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $ \vec{b}(24; -7) $;

2) $ \vec{c}(-x; y) $.

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $\vec{b}(24; -7);$

2) $\vec{c}(-x; y).$

1)Чтобы найти координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором $\vec{b}(24; -7)$, нужно найти так называемый единичный вектор (или орт) в направлении вектора $\vec{b}$. Это делается путем деления каждой координаты исходного вектора на его модуль (длину).
Сначала вычислим модуль вектора $\vec{b}$ по формуле $|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2}$:
$|\vec{b}| = \sqrt{24^2 + (-7)^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$.
Теперь, чтобы найти координаты искомого вектора $\vec{a}$, разделим координаты вектора $\vec{b}$ на его модуль:
$\vec{a} = (\frac{24}{|\vec{b}|}; \frac{-7}{|\vec{b}|}) = (\frac{24}{25}; -\frac{7}{25})$.
Ответ: $(\frac{24}{25}; -\frac{7}{25})$.

2)Аналогично, для вектора $\vec{c}(-x; y)$ найдем сонаправленный с ним единичный вектор. Для этого необходимо разделить координаты вектора $\vec{c}$ на его модуль. Данная операция определена, если вектор $\vec{c}$ не является нулевым, то есть $x$ и $y$ не равны нулю одновременно.
Найдем модуль вектора $\vec{c}$:
$|\vec{c}| = \sqrt{(-x)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Теперь найдем координаты искомого вектора $\vec{d}$, разделив координаты вектора $\vec{c}$ на его модуль:
$\vec{d} = (\frac{-x}{|\vec{c}|}; \frac{y}{|\vec{c}|}) = (\frac{-x}{\sqrt{x^2 + y^2}}; \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}})$.
Ответ: $(\frac{-x}{\sqrt{x^2 + y^2}}; \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}})$.