Номер 208, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, AO : OC = 2 : 3, BO : OD = 3 : 5.
Выразите векторы $\vec{AB}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$ и $\vec{DA}$ через векторы $\vec{OC} = \vec{a}$ и $\vec{BO} = \vec{b}$.

208. O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, $AO : OC = 2 : 3$, $BO : OD = 3 : 5$.

Выразите векторы $\vec{AB}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$ и $\vec{DA}$ через векторы $\vec{OC} = \vec{a}$ и $\vec{BO} = \vec{b}$.

По условию задачи, $O$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$. Нам даны отношения отрезков $AO : OC = 2 : 3$ и $BO : OD = 3 : 5$, а также базовые векторы $\vec{OC} = \vec{a}$ и $\vec{BO} = \vec{b}$.

Для того чтобы выразить стороны четырехугольника, сначала найдем векторы, исходящие из точки $O$ к вершинам $A$, $B$, $C$ и $D$.

• Так как точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой и $O$ находится между $A$ и $C$, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ сонаправлены. Из отношения $AO : OC = 2 : 3$ следует, что $|\vec{AO}| = \frac{2}{3}|\vec{OC}|$. Поэтому $\vec{AO} = \frac{2}{3}\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{a}$. Соответственно, вектор $\vec{OA} = -\vec{AO} = -\frac{2}{3}\vec{a}$.
• Аналогично, точки $B$, $O$, $D$ лежат на одной прямой, и векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ сонаправлены. Из отношения $BO : OD = 3 : 5$ следует, что $|\vec{OD}| = \frac{5}{3}|\vec{BO}|$. Поэтому $\vec{OD} = \frac{5}{3}\vec{BO} = \frac{5}{3}\vec{b}$.
• Из условия нам также известно, что $\vec{BO} = \vec{b}$, следовательно, $\vec{OB} = -\vec{BO} = -\vec{b}$.

Теперь мы можем выразить векторы сторон четырехугольника, используя правило вычитания векторов ($\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$), где $O$ — начало отсчета.

$\vec{AB}$

Применяя правило вычитания векторов, получаем:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-\vec{b}) - (-\frac{2}{3}\vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{AB} = \frac{2}{3}\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{CB}$

Применяя правило вычитания векторов, получаем:

$\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC} = (-\vec{b}) - \vec{a} = -\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{CB} = -\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{CD}$

Применяя правило вычитания векторов, получаем:

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = \frac{5}{3}\vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{CD} = \frac{5}{3}\vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{DA}$

Применяя правило вычитания векторов, получаем:

$\vec{DA} = \vec{OA} - \vec{OD} = (-\frac{2}{3}\vec{a}) - (\frac{5}{3}\vec{b}) = -\frac{2}{3}\vec{a} - \frac{5}{3}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{DA} = -\frac{2}{3}\vec{a} - \frac{5}{3}\vec{b}$.