Номер 201, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Постройте два неколлинеарных вектора $\vec{c}$ и $\vec{d}$. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $-\vec{c} + 4\vec{d}$;

2) $\frac{1}{5}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{d}$.

201. Постройте два неколлинеарных вектора $\vec{c}$ и $\vec{d}$. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $-\vec{c} + 4\vec{d};$

2) $\frac{1}{5}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{d}. $

Для выполнения построений сначала выберем два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{c}$ и $\vec{d}$ (то есть векторы, не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых). Также выберем произвольную точку $O$, которая будет служить началом для построения искомых векторов.

1) $-\vec{c} + 4\vec{d}$

Чтобы построить вектор $\vec{a} = -\vec{c} + 4\vec{d}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить вектор $-\vec{c}$. Этот вектор имеет такую же длину (модуль), как и вектор $\vec{c}$, но направлен в противоположную сторону.
2. Построить вектор $4\vec{d}$. Этот вектор направлен в ту же сторону, что и вектор $\vec{d}$, но его длина в 4 раза больше длины вектора $\vec{d}$. Для его построения нужно отложить вектор $\vec{d}$ четыре раза подряд, совмещая начало следующего с концом предыдущего.
3. Сложить полученные векторы $-\vec{c}$ и $4\vec{d}$. Для этого воспользуемся правилом треугольника (или правилом последовательного откладывания векторов):
   • От произвольной точки $O$ откладываем вектор $\vec{OA}$, равный $-\vec{c}$.
   • От конца полученного вектора, точки $A$, откладываем вектор $\vec{AB}$, равный $4\vec{d}$.
   • Соединяем начальную точку $O$ с конечной точкой $B$. Полученный вектор $\vec{OB}$ и будет искомым вектором, так как $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = -\vec{c} + 4\vec{d}$.

Ответ: Искомый вектор $\vec{OB}$ строится путем последовательного откладывания от произвольной точки $O$ вектора $\vec{OA} = -\vec{c}$ и затем от точки $A$ вектора $\vec{AB} = 4\vec{d}$.

2) $\frac{1}{5}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{d}$

Чтобы построить вектор $\vec{b} = \frac{1}{5}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{d}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить вектор $\frac{1}{5}\vec{c}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{c}$, а его длина составляет $\frac{1}{5}$ длины вектора $\vec{c}$. Для точного построения нужно разделить отрезок, изображающий вектор $\vec{c}$, на 5 равных частей (например, с помощью теоремы Фалеса) и взять одну такую часть, сохранив направление вектора $\vec{c}$.
2. Построить вектор $-\frac{2}{3}\vec{d}$. Этот вектор направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{d}$, а его длина составляет $\frac{2}{3}$ длины вектора $\vec{d}$. Для его построения сначала строим вектор $\frac{2}{3}\vec{d}$: делим вектор $\vec{d}$ на 3 равные части и берем две из них, сохраняя направление. Затем меняем направление полученного вектора на противоположное.
3. Сложить полученные векторы $\frac{1}{5}\vec{c}$ и $-\frac{2}{3}\vec{d}$. Используем правило треугольника:
   • От произвольной точки $O$ откладываем вектор $\vec{OP}$, равный $\frac{1}{5}\vec{c}$.
   • От конца полученного вектора, точки $P$, откладываем вектор $\vec{PQ}$, равный $-\frac{2}{3}\vec{d}$.
   • Соединяем начальную точку $O$ с конечной точкой $Q$. Полученный вектор $\vec{OQ}$ и будет искомым вектором, так как $\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{PQ} = \frac{1}{5}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{d}$.

Ответ: Искомый вектор $\vec{OQ}$ строится путем последовательного откладывания от произвольной точки $O$ вектора $\vec{OP} = \frac{1}{5}\vec{c}$ и затем от точки $P$ вектора $\vec{PQ} = -\frac{2}{3}\vec{d}$.