Номер 200, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 69). Постройте вектор:

1) $-3\vec{a}$

2) $\frac{3}{4}\vec{b}$

3) $2\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

Рис. 69

200. Даны векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ (рис. 69). Постройте вектор:

1) $ -3\vec{a} $;

2) $ \frac{3}{4}\vec{b} $;

3) $ 2\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} $.

Рис. 69

Прежде чем приступить к построению, определим координаты данных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по клетчатой сетке, приняв сторону одной клетки за единицу длины.

Вектор $\vec{a}$ направлен горизонтально вправо и его длина составляет 3 клетки. Следовательно, его координаты: $\vec{a}=\{3; 0\}$.

Вектор $\vec{b}$ смещается на 3 клетки влево и на 6 клеток вверх от своего начала к концу. Следовательно, его координаты: $\vec{b}=\{-3; 6\}$.

1) $-3\vec{a}$;

Чтобы построить вектор $-3\vec{a}$, нужно умножить вектор $\vec{a}$ на скаляр $k=-3$. Это означает, что результирующий вектор будет:
- направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{a}$ (так как $k < 0$);
- иметь длину, в 3 раза большую длины вектора $\vec{a}$.
Так как вектор $\vec{a}$ направлен вправо и имеет длину 3 клетки, вектор $-3\vec{a}$ будет направлен влево и будет иметь длину $3 \times 3 = 9$ клеток.
В координатах: $-3\vec{a} = -3 \times \{3; 0\} = \{-9; 0\}$.
Для построения необходимо выбрать произвольную точку на плоскости (начало вектора) и отложить от нее вектор, конец которого смещен на 9 клеток влево.
Ответ: Вектор $-3\vec{a}$ — это вектор, направленный горизонтально влево, длиной 9 клеток.

2) $\frac{3}{4}\vec{b}$;

Для построения вектора $\frac{3}{4}\vec{b}$ нужно умножить вектор $\vec{b}$ на скаляр $k=\frac{3}{4}$. Так как $k > 0$, результирующий вектор будет:
- сонаправлен с вектором $\vec{b}$;
- иметь длину, равную $\frac{3}{4}$ от длины вектора $\vec{b}$.
Найдем координаты нового вектора, используя координаты $\vec{b}=\{-3; 6\}$:
$\frac{3}{4}\vec{b} = \frac{3}{4} \times \{-3; 6\} = \{-\frac{9}{4}; \frac{18}{4}\} = \{-2.25; 4.5\}$.
Для построения нужно выбрать произвольную точку (начало вектора) и отложить от нее вектор, конец которого смещен на 2.25 клетки влево и на 4.5 клетки вверх.
Ответ: Вектор $\frac{3}{4}\vec{b}$ — это вектор, который получается смещением из начальной точки на 2.25 клетки влево и на 4.5 клетки вверх.

3) $2\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$.

Данный вектор является суммой векторов $2\vec{a}$ и $(-\frac{1}{2}\vec{b})$. Для его построения можно найти координаты результирующего вектора или построить его геометрически по правилу треугольника (последовательного откладывания векторов).
1. Найдем вектор $2\vec{a}$: $2\vec{a} = 2 \times \{3; 0\} = \{6; 0\}$. Это вектор, направленный вправо, длиной 6 клеток.
2. Найдем вектор $-\frac{1}{2}\vec{b}$: $-\frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{1}{2} \times \{-3; 6\} = \{\frac{3}{2}; -3\} = \{1.5; -3\}$. Это вектор, который смещается на 1.5 клетки вправо и на 3 клетки вниз.
3. Сложим координаты векторов, чтобы найти координаты итогового вектора: $2\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = \{6; 0\} + \{1.5; -3\} = \{7.5; -3\}$.
Для построения вектора нужно из произвольной начальной точки отложить вектор, смещающийся на 7.5 клеток вправо и на 3 клетки вниз. Это можно сделать, последовательно отложив от начальной точки вектор $2\vec{a}$, а затем из его конца — вектор $-\frac{1}{2}\vec{b}$.
Ответ: Вектор $2\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$ — это вектор, который получается смещением из начальной точки на 7.5 клеток вправо и на 3 клетки вниз.