Номер 207, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Точки F и E — середины сторон CD и AD трапеции ABCD (рис. 71). Выразите вектор $\vec{FE}$ через векторы $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{b}$.

Рис. 71

207. Точки F и E — середины сторон CD и AD трапеции ABCD (рис. 71). Выразите вектор $ \vec{FE} $ через векторы $ \vec{BA} = \vec{a} $ и $ \vec{BC} = \vec{b} $.

Рис. 71

Рассмотрим треугольник $ACD$.
По условию задачи, точка $F$ является серединой стороны $CD$, а точка $E$ — серединой стороны $AD$.
Следовательно, отрезок $FE$ является средней линией треугольника $ACD$.
По свойству средней линии, выраженному в векторах, вектор, соединяющий середины двух сторон, равен половине вектора третьей стороны, параллельной этому отрезку. Вектор $\vec{FE}$ направлен от середины стороны $CD$ к середине стороны $AD$. Вектор, соответствующий третьей стороне, — это $\vec{CA}$. Средняя линия $FE$ параллельна стороне $AC$, а вектор $\vec{FE}$ сонаправлен с вектором $\vec{CA}$. Таким образом, справедливо равенство:
$\vec{FE} = \frac{1}{2}\vec{CA}$

Теперь необходимо выразить вектор $\vec{CA}$ через заданные векторы $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{b}$.
Воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника), пройдя от точки $C$ до точки $A$ через точку $B$:
$\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA}$
Из условия задачи мы знаем, что $\vec{BA} = \vec{a}$.
Вектор $\vec{CB}$ противоположен по направлению вектору $\vec{BC}$, поэтому $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Так как $\vec{BC} = \vec{b}$, то $\vec{CB} = -\vec{b}$.
Подставим выражения для векторов $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$:
$\vec{CA} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b}$

Наконец, подставим полученное выражение для вектора $\vec{CA}$ в формулу для вектора $\vec{FE}$:
$\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

Ответ: $\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$