Номер 210, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD отмечены такие точки P и E, что $AP = \frac{1}{4}AD$, $CE = \frac{2}{7}CD$ (рис. 72). Выразите векторы $\vec{BP}$ и $\vec{BE}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{m}$ и $\vec{BC} = \vec{n}$.

Рис. 72

Рис. 72

210. На сторонах $AD$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены такие точки $P$ и $E$, что $AP = \frac{1}{4}AD$, $CE = \frac{2}{7}CD$ (рис. 72). Выразите векторы $\vec{BP}$ и $\vec{BE}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{m}$ и $\vec{BC} = \vec{n}$.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$, в котором $\vec{AB} = \vec{m}$ и $\vec{BC} = \vec{n}$.
Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны и равны по длине, а соответствующие векторы равны. Таким образом:
$\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{n}$
$\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{m}$

$\vec{BP}$

Для того чтобы выразить вектор $\vec{BP}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника). Рассмотрим путь из точки B в точку P через точку A:
$\vec{BP} = \vec{BA} + \vec{AP}$
Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{m}$.
По условию, точка $P$ находится на стороне $AD$ так, что $AP = \frac{1}{4}AD$. Поскольку векторы $\vec{AP}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены, их векторное соотношение такое же, как и у длин их отрезков:
$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AD}$
Так как $\vec{AD} = \vec{n}$, то получаем:
$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{n}$
Теперь подставим найденные выражения векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AP}$ в исходное равенство:
$\vec{BP} = -\vec{m} + \frac{1}{4}\vec{n}$
Ответ: $\vec{BP} = \frac{1}{4}\vec{n} - \vec{m}$.

$\vec{BE}$

Для выражения вектора $\vec{BE}$ также применим правило треугольника, рассмотрев путь из точки B в точку E через точку C:
$\vec{BE} = \vec{BC} + \vec{CE}$
Из условия нам известно, что $\vec{BC} = \vec{n}$.
Точка $E$ находится на стороне $CD$ так, что $CE = \frac{2}{7}CD$. Векторы $\vec{CE}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены, следовательно:
$\vec{CE} = \frac{2}{7}\vec{CD}$
Как мы установили ранее, $\vec{CD} = -\vec{m}$, поэтому:
$\vec{CE} = \frac{2}{7}(-\vec{m}) = -\frac{2}{7}\vec{m}$
Подставим найденные выражения для $\vec{BC}$ и $\vec{CE}$ в формулу для $\vec{BE}$:
$\vec{BE} = \vec{n} + (-\frac{2}{7}\vec{m}) = \vec{n} - \frac{2}{7}\vec{m}$
Ответ: $\vec{BE} = \vec{n} - \frac{2}{7}\vec{m}$.