Номер 212, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. Среди векторов $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(8; -20)$, $\vec{c}(-4; 10)$, $\vec{d}(-14; 35)$ укажите пары:

1) сонаправленных векторов;

2) противоположно направленных векторов.

212. Среди векторов $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(8; -20)$, $\vec{c}(-4; 10)$, $\vec{d}(-14; 35)$ укажите пары:

1) сонаправленных векторов;

2) противоположно направленных векторов.

Два ненулевых вектора являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Для векторов $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ это означает, что существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ или $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = k$.

Если коэффициент пропорциональности $k > 0$, то векторы сонаправлены.

Если коэффициент пропорциональности $k < 0$, то векторы противоположно направлены.

Проверим все пары данных векторов: $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(8; -20)$, $\vec{c}(-4; 10)$, $\vec{d}(-14; 35)$.

1) сонаправленных векторов

Ищем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ положителен.

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\frac{8}{2} = 4$
$\frac{-20}{-5} = 4$
Коэффициент $k=4$. Так как $k>0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.

Сравним векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$:
$\frac{-14}{-4} = \frac{7}{2} = 3.5$
$\frac{35}{10} = \frac{7}{2} = 3.5$
Коэффициент $k=3.5$. Так как $k>0$, векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ сонаправлены.

Ответ: $\vec{a}$ и $\vec{b}$; $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

2) противоположно направленных векторов

Ищем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ отрицателен.

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$:
$\frac{-4}{2} = -2$
$\frac{10}{-5} = -2$
Коэффициент $k=-2$. Так как $k<0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ противоположно направлены.

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$:
$\frac{-14}{2} = -7$
$\frac{35}{-5} = -7$
Коэффициент $k=-7$. Так как $k<0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены.

Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$:
$\frac{-4}{8} = -0.5$
$\frac{10}{-20} = -0.5$
Коэффициент $k=-0.5$. Так как $k<0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ противоположно направлены.

Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$:
$\frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}$
$\frac{35}{-20} = -\frac{7}{4}$
Коэффициент $k=-\frac{7}{4}$. Так как $k<0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены.

Ответ: $\vec{a}$ и $\vec{c}$; $\vec{a}$ и $\vec{d}$; $\vec{b}$ и $\vec{c}$; $\vec{b}$ и $\vec{d}$.