Номер 219, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. O — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD (AD \parallel BC), BC = 2, AD = 5$. Найдите такое число $x$, что:

1) $\vec{AO} = x \cdot \vec{OC};$

2) $\vec{BO} = x \cdot \vec{DB}.$

219. O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD ($AD \parallel BC$), $BC = 2$, $AD = 5$. Найдите такое число $x$, что:

1) $\vec{AO} = x \cdot \vec{OC}$;

2) $\vec{BO} = x \cdot \vec{DB}$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), треугольники, образованные основаниями и точкой пересечения диагоналей, подобны.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.

• $\angle CAD = \angle ACB$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
• $\angle BDA = \angle CBD$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).
• $\angle AOD = \angle COB$ (вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOD \sim \triangle COB$ по двум (или трем) углам.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин оснований: $k = \frac{AD}{BC} = \frac{5}{2} = 2.5$

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон также равно коэффициенту подобия: $\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC} = 2.5$

1) $\vec{AO} = x \cdot \vec{OC}$

Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой (диагонали $AC$) и направлены в одну сторону (от точки $A$ к точке $C$). Следовательно, они сонаправлены, и число $x$ будет положительным. Значение $x$ равно отношению длин этих векторов: $x = \frac{|\vec{AO}|}{|\vec{OC}|} = \frac{AO}{OC}$

Из соотношения сторон подобных треугольников мы имеем: $\frac{AO}{CO} = 2.5$

Таким образом, $x = 2.5$.

Ответ: $2.5$

2) $\vec{BO} = x \cdot \vec{DB}$

Векторы $\vec{BO}$ и $\vec{DB}$ лежат на одной прямой (диагонали $DB$). Вектор $\vec{BO}$ направлен от точки $B$ к точке $O$. Вектор $\vec{DB}$ направлен от точки $D$ к точке $B$. Так как точка $O$ лежит между $D$ и $B$, векторы направлены в противоположные стороны. Следовательно, число $x$ будет отрицательным.

Модуль числа $x$ равен отношению длин векторов: $|x| = \frac{|\vec{BO}|}{|\vec{DB}|} = \frac{BO}{DB}$

Из соотношения сторон подобных треугольников мы знаем, что $\frac{DO}{BO} = 2.5$, откуда $DO = 2.5 \cdot BO$. Длина всей диагонали $DB$ равна сумме длин ее частей: $DB = DO + BO = 2.5 \cdot BO + BO = 3.5 \cdot BO = \frac{7}{2} BO$

Теперь найдем отношение длин: $\frac{BO}{DB} = \frac{BO}{\frac{7}{2} BO} = \frac{1}{\frac{7}{2}} = \frac{2}{7}$

Поскольку векторы противоположно направлены, $x$ отрицателен: $x = -\frac{2}{7}$

Ответ: $-\frac{2}{7}$