Номер 221, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

221. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ |\vec{a}|=1, |\vec{b}|=7, \angle(\vec{a}, \vec{b})=45^{\circ} $;

2) $ |\vec{a}|=8, |\vec{b}|=11, \angle(\vec{a}, \vec{b})=150^{\circ} $;

3) $ |\vec{a}|=5, |\vec{b}|=6, \angle(\vec{a}, \vec{b})=90^{\circ} $.

221. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ |\vec{a}|=1 $, $ |\vec{b}|=7 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b})=45^{\circ} $;

2) $ |\vec{a}|=8 $, $ |\vec{b}|=11 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b})=150^{\circ} $;

3) $ |\vec{a}|=5 $, $ |\vec{b}|=6 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b})=90^{\circ} $.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как произведение их длин (модулей) на косинус угла между ними. Формула для вычисления скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Используем эту формулу для решения каждого пункта.

1)

Даны: $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 7$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.

Подставляем эти значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)$

Значение косинуса $45^\circ$ является табличной величиной: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

2)

Даны: $|\vec{a}| = 8$, $|\vec{b}| = 11$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 \cdot 11 \cdot \cos(150^\circ) = 88 \cdot \cos(150^\circ)$

Для нахождения косинуса $150^\circ$ воспользуемся формулой приведения: $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$. Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычисляем скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 88 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -44\sqrt{3}$

Ответ: $-44\sqrt{3}$.

3)

Даны: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 6$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 6 \cdot \cos(90^\circ) = 30 \cdot \cos(90^\circ)$

Косинус прямого угла равен нулю: $\cos(90^\circ) = 0$.

Следовательно, скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 30 \cdot 0 = 0$

Это соответствует свойству скалярного произведения: скалярное произведение перпендикулярных (ортогональных) векторов всегда равно нулю.

Ответ: $0$.