Номер 198, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Даны векторы $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(x; -3)$, $\vec{c}(4; 1)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}$.

198. Даны векторы $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(x; -3)$, $\vec{c}(4; 1)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}$.

Чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}$, сначала найдем координаты этого результирующего вектора. Пусть $\vec{d} = \vec{c} - \vec{b} - \vec{a}$.

Координаты векторов: $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(x; -3)$, $\vec{c}(4; 1)$.

Вычитание векторов производится покомпонентно. Найдем координаты вектора $\vec{d}$:

$d_x = c_x - b_x - a_x = 4 - x - 2 = 2 - x$

$d_y = c_y - b_y - a_y = 1 - (-3) - (-5) = 1 + 3 + 5 = 9$

Итак, вектор $\vec{d}$ имеет координаты $(2 - x; 9)$.

Модуль (длина) вектора $\vec{d}(d_x; d_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{d}$:

$|\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}| = |\vec{d}| = \sqrt{(2 - x)^2 + 9^2} = \sqrt{(2 - x)^2 + 81}$

Нам нужно найти наименьшее значение этого выражения. Функция $y = \sqrt{z}$ является возрастающей, поэтому ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении подкоренного выражения.

Рассмотрим подкоренное выражение: $f(x) = (2 - x)^2 + 81$.

Слагаемое $(2 - x)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(2 - x)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0 и достигается при $2 - x = 0$, то есть при $x = 2$.

Следовательно, наименьшее значение всего подкоренного выражения $f(x)$ равно:

$\min(f(x)) = (2 - 2)^2 + 81 = 0^2 + 81 = 81$.

Теперь мы можем найти наименьшее значение модуля вектора, взяв квадратный корень из этого минимального значения:

$\min(|\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}|) = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: 9