Номер 235, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\overrightarrow{AB}$, если $A (3; 7)$, $B (5; 1)$, с отрицательными направлениями координатных осей.

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{AB}$, если $A (3; 7)$, $B (5; 1)$, с отрицательными направлениями координатных осей.

Для нахождения косинусов углов, которые вектор $\vec{AB}$ образует с отрицательными направлениями координатных осей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти координаты вектора $\vec{AB}$.

2. Найти длину (модуль) вектора $\vec{AB}$.

3. Вычислить косинусы углов между вектором $\vec{AB}$ и векторами, задающими отрицательные направления осей.

1. Нахождение координат вектора $\vec{AB}$

Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки. Для точек $A(3; 7)$ и $B(5; 1)$ имеем:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (5 - 3; 1 - 7) = (2; -6)$.

2. Нахождение длины вектора $\vec{AB}$

Длина вектора $\vec{a} = (x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

3. Вычисление косинусов углов

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти, используя их скалярное произведение: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Косинус угла с отрицательным направлением оси Ox

Отрицательное направление оси Ox задается единичным вектором $\vec{i'} = (-1; 0)$. Найдем косинус угла $\alpha'$ между вектором $\vec{AB}$ и вектором $\vec{i'}$:

$\cos \alpha' = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{i'}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{i'}|} = \frac{(2; -6) \cdot (-1; 0)}{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 0^2}} = \frac{2 \cdot (-1) + (-6) \cdot 0}{2\sqrt{10} \cdot 1} = \frac{-2}{2\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\cos \alpha' = -\frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Косинус угла с отрицательным направлением оси Oy

Отрицательное направление оси Oy задается единичным вектором $\vec{j'} = (0; -1)$. Найдем косинус угла $\beta'$ между вектором $\vec{AB}$ и вектором $\vec{j'}$:

$\cos \beta' = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{j'}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{j'}|} = \frac{(2; -6) \cdot (0; -1)}{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{0^2 + (-1)^2}} = \frac{2 \cdot 0 + (-6) \cdot (-1)}{2\sqrt{10} \cdot 1} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\cos \beta' = \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$.