Номер 239, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, а векторы $\vec{a}-2\vec{b}$ и $4\vec{a}+3\vec{b}$ перпендикулярны.

239. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, а векторы $\vec{a}-2\vec{b}$ и $4\vec{a}+3\vec{b}$ перпендикулярны.

Обозначим угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ как $\theta$. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

В условии задачи дано, что векторы $\vec{a} - 2\vec{b}$ и $4\vec{a} + 3\vec{b}$ перпендикулярны. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Запишем это условие:

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (4\vec{a} + 3\vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot (4\vec{a}) + \vec{a} \cdot (3\vec{b}) - (2\vec{b}) \cdot (4\vec{a}) - (2\vec{b}) \cdot (3\vec{b}) = 0$

$4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$

Зная, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), мы можем упростить выражение:

$4|\vec{a}|^2 - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6|\vec{b}|^2 = 0$

Теперь подставим в уравнение данные из условия задачи: $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$.

$4(1)^2 - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6(1)^2 = 0$

$4 - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6 = 0$

$-2 - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

Выразим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$5(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{2}{5}$

Теперь мы можем найти косинус угла $\theta$, подставив все известные значения в исходную формулу:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-2/5}{1 \cdot 1} = -\frac{2}{5}$

Ответ: $-\frac{2}{5}$.