Номер 237, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (1; 2)$, $B (2; 5)$, $C (5; 4)$ и $D (4; 1)$ является квадратом.

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A(1; 2)$, $B(2; 5)$, $C(5; 4)$ и $D(4; 1)$ является квадратом.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо показать, что все его стороны равны и диагонали также равны. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1. Вычислим длины сторон четырехугольника ABCD.

Длина стороны AB между точками A(1; 2) и B(2; 5):
$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Длина стороны BC между точками B(2; 5) и C(5; 4):
$BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Длина стороны CD между точками C(5; 4) и D(4; 1):
$CD = \sqrt{(4 - 5)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Длина стороны DA между точками D(4; 1) и A(1; 2):
$DA = \sqrt{(1 - 4)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{10}$, все стороны четырехугольника равны. Это означает, что ABCD является ромбом.

2. Вычислим длины диагоналей четырехугольника.

Длина диагонали AC между точками A(1; 2) и C(5; 4):
$AC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

Длина диагонали BD между точками B(2; 5) и D(4; 1):
$BD = \sqrt{(4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.

Так как $AC = BD = \sqrt{20}$, диагонали четырехугольника равны.

Вывод

Поскольку четырехугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, то он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник ABCD является квадратом, так как было доказано, что все его стороны равны ($\sqrt{10}$) и его диагонали равны ($\sqrt{20}$).