Номер 244, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос. Вариант 3. Упражнения - номер 244, страница 93.

Условие 2017.

244. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $BC$ является образом стороны $AB$;

2) отрезок $AC$ является образом отрезка $DE$;

3) отрезок $AD$ является образом отрезка $BD$?

В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 73

Условие 2021.

244. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $BC$ является образом стороны $AB$;

2) отрезок $AC$ является образом отрезка $DE$;

3) отрезок $AD$ является образом отрезка $BD$?

В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 73

Решение.

Решение 2 (2021).

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x+a, y+b)$ на один и тот же вектор $\vec{v} = (a, b)$. При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему и параллельный ему отрезок.

1) сторона BC является образом стороны AB;

Для того чтобы сторона $BC$ была образом стороны $AB$ при параллельном переносе, необходимо, чтобы отрезок $BC$ был равен по длине и параллелен отрезку $AB$.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $|AB| = |BC|$. Условие равенства длин выполняется.

Однако, для того чтобы отрезки $AB$ и $BC$ были параллельны, точки $A, B, C$ должны лежать на одной прямой. Но $A, B, C$ являются вершинами треугольника и, следовательно, не могут лежать на одной прямой. Таким образом, сторона $AB$ не параллельна стороне $BC$.

Поскольку условие параллельности не выполняется, такого параллельного переноса не существует.

Ответ: Нет, не существует.

2) отрезок AC является образом отрезка DE;

Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. То есть, $DE \parallel AC$ и $|DE| = \frac{1}{2}|AC|$.

Для того чтобы отрезок $AC$ был образом отрезка $DE$ при параллельном переносе, необходимо, чтобы они были параллельны и равны по длине.

Условие параллельности ($AC \parallel DE$) выполняется.

Однако условие равенства длин не выполняется, так как $|AC| = 2|DE|$. Поскольку $A, B, C$ — вершины треугольника, то $|AC| \neq 0$, а значит $|AC| \neq |DE|$.

Следовательно, такого параллельного переноса не существует.

Ответ: Нет, не существует.

3) отрезок AD является образом отрезка BD?

Точка $D$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что точка $D$ лежит на отрезке $AB$ и делит его на два равных отрезка: $|AD| = |BD|$. Таким образом, условие равенства длин отрезков $AD$ и $BD$ выполняется.

Оба отрезка, $AD$ и $BD$, лежат на одной прямой $AB$. Коллинеарные отрезки считаются параллельными. Следовательно, условие параллельности выполняется.

Теперь найдем вектор переноса. Чтобы отрезок $BD$ перешел в отрезок $AD$, необходимо, чтобы конец одного отрезка перешел в начало другого. Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{BD}$. При таком переносе точка $B$ перейдет в точку $D$. Найдем образ точки $D$. Точка $D$ перейдет в точку $D'$, такую что $\vec{DD'} = \vec{v} = \vec{BD}$.

Поскольку $D$ — середина $AB$, то векторы $\vec{BD}$ и $\vec{DA}$ равны (они сонаправлены и их длины равны: $|\vec{BD}| = |\vec{DA}|$).

Таким образом, $\vec{DD'} = \vec{DA}$, что означает, что точка $D'$ совпадает с точкой $A$.

Итак, при параллельном переносе на вектор $\vec{BD}$ точка $B$ переходит в точку $D$, а точка $D$ переходит в точку $A$. Следовательно, отрезок $BD$ переходит в отрезок $DA$, который является тем же множеством точек, что и отрезок $AD$.

Такой параллельный перенос существует.

Ответ: Да, существует. Вектор переноса $\vec{a} = \vec{BD}$.