Номер 251, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Даны точки $A (-1; -6)$ и $B (5; -2)$. При параллельном переносе образом середины отрезка $AB$ является точка $C (3; 7)$. Найдите образы точек $A$ и $B$ при этом параллельном переносе.

251. Даны точки $A (-1; -6)$ и $B (5; -2)$. При параллельном переносе образом середины отрезка $AB$ является точка $C (3; 7)$. Найдите образы точек $A$ и $B$ при этом параллельном переносе.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: найти координаты середины отрезка $AB$, определить вектор параллельного переноса и, наконец, найти образы точек $A$ и $B$.

1. Нахождение координат середины отрезка AB.
Пусть $M(x_M; y_M)$ — середина отрезка с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$. Её координаты вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$
Подставляем координаты точек $A(-1; -6)$ и $B(5; -2)$:
$x_M = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_M = \frac{-6 + (-2)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Таким образом, середина отрезка $AB$ — это точка $M(2; -4)$.

2. Определение вектора параллельного переноса.
Параллельный перенос, который отображает точку $(x; y)$ на точку $(x'; y')$, задается вектором $\vec{v}(a; b)$, где $x' = x + a$ и $y' = y + b$.
По условию, образом точки $M(2; -4)$ является точка $C(3; 7)$. Найдем компоненты вектора переноса $a$ и $b$:
$a = x_C - x_M = 3 - 2 = 1$
$b = y_C - y_M = 7 - (-4) = 7 + 4 = 11$
Следовательно, параллельный перенос задается вектором $\vec{v}(1; 11)$.

3. Нахождение образов точек A и B.
Теперь, зная вектор переноса, мы можем найти образы исходных точек, прибавив к их координатам компоненты вектора переноса.

Образ точки A
Найдем образ точки $A(-1; -6)$, обозначив его $A'$.
$x_{A'} = x_A + a = -1 + 1 = 0$
$y_{A'} = y_A + b = -6 + 11 = 5$
Координаты образа точки $A$ — $A'(0; 5)$.
Ответ: $(0; 5)$.

Образ точки B
Найдем образ точки $B(5; -2)$, обозначив его $B'$.
$x_{B'} = x_B + a = 5 + 1 = 6$
$y_{B'} = y_B + b = -2 + 11 = 9$
Координаты образа точки $B$ — $B'(6; 9)$.
Ответ: $(6; 9)$.