Номер 252, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

252. Точки $A (4; -3)$, $C (9; 2)$ и $D (-5; 1)$ являются вершинами параллелограмма ABCD. При параллельном переносе образом точки A является точка $D_1 (2; -7)$. Найдите образы точек A, B и C при таком параллельном переносе.

252. Точки $A (4; -3)$, $C (9; 2)$ и $D (-5; 1)$ являются вершинами параллелограмма $ABCD$. При параллельном переносе образом точки $A$ является точка $D_1 (2; -7)$. Найдите образы точек $A$, $B$ и $C$ при таком параллельном переносе.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: сначала найти параметры параллельного переноса, затем определить координаты недостающей вершины B параллелограмма и, наконец, найти образы точек A, B и C при этом переносе.

1. Определение параметров параллельного переноса

Параллельный перенос, который переводит точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(x'; y')$, задается формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$.

По условию, образом точки $A(4; -3)$ является точка $D_1(2; -7)$. Подставим координаты этих точек в формулы, чтобы найти параметры $a$ и $b$:

$2 = 4 + a \Rightarrow a = 2 - 4 = -2$
$-7 = -3 + b \Rightarrow b = -7 - (-3) = -7 + 3 = -4$

Таким образом, искомые формулы параллельного переноса: $x' = x - 2$, $y' = y - 4$.

2. Нахождение координат вершины B

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Это значит, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD. Найдем координаты точки O — середины диагонали AC, используя координаты точек $A(4; -3)$ и $C(9; 2)$:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{4 + 9}{2} = \frac{13}{2}$
$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$

Точка $O(\frac{13}{2}; -\frac{1}{2})$ также является серединой диагонали BD. Используя координаты O и $D(-5; 1)$, найдем координаты вершины $B(x_B; y_B)$:

$\frac{13}{2} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{x_B - 5}{2} \Rightarrow 13 = x_B - 5 \Rightarrow x_B = 18$
$-\frac{1}{2} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{y_B + 1}{2} \Rightarrow -1 = y_B + 1 \Rightarrow y_B = -2$

Следовательно, координаты вершины $B$ равны $(18; -2)$.

3. Нахождение образов точек A, B и C

Теперь применим формулы переноса $x' = x - 2$ и $y' = y - 4$ к каждой из вершин.

Образ точки A

Для точки $A(4; -3)$:
$x' = 4 - 2 = 2$
$y' = -3 - 4 = -7$
Ответ: $(2; -7)$.

Образ точки B

Для точки $B(18; -2)$:
$x' = 18 - 2 = 16$
$y' = -2 - 4 = -6$
Ответ: $(16; -6)$.

Образ точки C

Для точки $C(9; 2)$:
$x' = 9 - 2 = 7$
$y' = 2 - 4 = -2$
Ответ: $(7; -2)$.