Номер 253, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 8$ при параллельном переносе на вектор $\vec{c}(-3; 2)$.

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 8$ при параллельном переносе на вектор $\vec{c}(-3; 2)$.

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Из уравнения исходной окружности $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 8$ определим координаты её центра и радиус. Уравнение можно переписать в виде $(x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{8})^2$.

Следовательно, центр исходной окружности $O_1$ имеет координаты $(-4; 2)$, а квадрат её радиуса $R^2 = 8$.

Параллельный перенос является движением, поэтому образом окружности будет окружность с тем же радиусом. Центр новой окружности будет образом центра исходной окружности при данном параллельном переносе.

Найдем координаты нового центра $O_2(a'; b')$, сдвинув центр $O_1(-4; 2)$ на вектор $\vec{c}(-3; 2)$. Для этого к координатам точки $O_1$ прибавим соответствующие координаты вектора $\vec{c}$:

$a' = -4 + (-3) = -7$

$b' = 2 + 2 = 4$

Таким образом, центр новой окружности $O_2$ имеет координаты $(-7; 4)$.

Радиус новой окружности равен радиусу исходной, поэтому квадрат радиуса $R'^2$ также равен 8.

Теперь составим уравнение новой окружности, подставив координаты её центра $(a'; b') = (-7; 4)$ и квадрат радиуса $R'^2 = 8$ в общее уравнение окружности:

$(x - (-7))^2 + (y - 4)^2 = 8$

$(x + 7)^2 + (y - 4)^2 = 8$

Ответ: $(x + 7)^2 + (y - 4)^2 = 8$