Номер 256, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

256. Даны прямая $a$ и точка $C$, не принадлежащая ей (рис. 74). Постройте точку, симметричную точке $C$ относительно прямой $a$.

Рис. 74

256. Даны прямая $a$ и точка $C$, не принадлежащая ей (рис. 74). Постройте точку, симметричную точке $C$ относительно прямой $a$.

Рис. 74

Точка $C'$ называется симметричной точке $C$ относительно прямой $a$, если прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $CC'$. Это означает, что отрезок $CC'$ должен быть перпендикулярен прямой $a$, и точка их пересечения (обозначим ее $H$) должна быть серединой отрезка $CC'$ (то есть $CH = C'H$).

Для построения симметричной точки на клетчатой бумаге, как в данном задании, можно воспользоваться свойствами сетки. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Определение наклона прямой $a$. Рассмотрим, как прямая $a$ проходит по сетке. Мы видим, что она проходит через узлы сетки (пересечения линий). Чтобы переместиться из одного узла на прямой в другой, можно сдвинуться на 1 клетку вправо и на 2 клетки вниз. Это и есть "шаг", определяющий наклон прямой.
2. Определение перпендикулярного направления. Направление, перпендикулярное прямой $a$, будет задаваться "шагом", в котором горизонтальное и вертикальное смещения меняются местами, и у одного из них меняется знак. Если "шаг" для прямой $a$ был (1 клетка вправо, 2 клетки вниз), то перпендикулярный "шаг" будет (2 клетки вправо, 1 клетка вверх) или (2 клетки влево, 1 клетка вниз).
3. Проведение перпендикуляра из точки $C$ к прямой $a$. Начнем двигаться из точки $C$ по перпендикулярному направлению до пересечения с прямой $a$. Поскольку точка $C$ находится справа от прямой, нам нужно двигаться влево. Выбираем "шаг" (2 клетки влево, 1 клетка вниз). Сделав ровно один такой шаг из точки $C$, мы попадаем в точку $H$, которая лежит на прямой $a$. Отрезок $CH$ является перпендикуляром, опущенным из точки $C$ на прямую $a$.
4. Нахождение симметричной точки $C'$. Симметричная точка $C'$ должна лежать на продолжении отрезка $CH$ за точку $H$, причем на том же расстоянии от $H$, что и точка $C$. Для этого нужно повторить "шаг", который привел нас из $C$ в $H$. То есть, из точки $H$ мы снова смещаемся на 2 клетки влево и 1 клетку вниз. Полученная точка и будет искомой точкой $C'$, симметричной точке $C$ относительно прямой $a$.

Таким образом, точка $C'$ построена.

Ответ: Искомая точка $C'$ получается следующим построением: от точки $C$ нужно отступить на 2 клетки влево и 1 клетку вниз, чтобы попасть в точку $H$ на прямой $a$. Затем от точки $H$ нужно снова отступить на 2 клетки влево и 1 клетку вниз. Конечная точка этого движения и есть искомая точка $C'$.