Номер 261, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии окружности с центром $O$?

261. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии окружности с центром $O$?

Осью симметрии фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$. Прямая $m$ будет являться осью симметрии этой окружности тогда и только тогда, когда она проходит через ее центр — точку $O$.

Докажем это утверждение.

1. Пусть прямая $m$ проходит через центр $O$ окружности. Возьмем любую точку $A$ на окружности. Расстояние от центра до этой точки равно радиусу $R$, то есть $OA = R$. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $m$. Так как осевая симметрия является движением (изометрией), она сохраняет расстояния. Расстояние от точки $O$ (которая лежит на оси симметрии и поэтому остается на месте) до симметричной точки $A'$ будет равно расстоянию от $O$ до $A$. То есть, $OA' = OA = R$. Это означает, что точка $A'$ также лежит на данной окружности. Поскольку это верно для любой точки $A$ на окружности, то вся окружность при отражении относительно прямой $m$ переходит сама в себя. Следовательно, любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.

2. Пусть прямая $m$ является осью симметрии окружности. Это значит, что при отражении относительно $m$ окружность переходит сама в себя. При любом движении (включая осевую симметрию) центр окружности переходит в центр образа окружности. Так как окружность перешла сама в себя, ее центр $O$ должен перейти сам в себя. Точка переходит сама в себя при отражении относительно прямой только в том случае, если она лежит на этой прямой. Следовательно, центр $O$ должен лежать на прямой $m$.

Таким образом, прямая $m$ является осью симметрии окружности с центром $O$ только в том случае, если она проходит через этот центр.

Ответ: Прямая $m$ является осью симметрии окружности с центром $O$ в том случае, если эта прямая проходит через центр окружности $O$.