Номер 268, страница 96 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = 2$ и $x = -4$. Одна из его вершин имеет координаты $(-6; -1)$. Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = 2$ и $x = -4$. Одна из его вершин имеет координаты $(-6; -1)$. Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

Оси симметрии прямоугольника, стороны которого параллельны осям координат, — это прямые, проходящие через середины его противоположных сторон. Точка пересечения осей симметрии является центром симметрии прямоугольника.

В данном случае оси симметрии заданы уравнениями $y = 2$ и $x = -4$. Их точка пересечения, центр прямоугольника $O$, имеет координаты $(-4; 2)$.

Пусть данная вершина прямоугольника — это точка $A$ с координатами $(-6; -1)$. Остальные три вершины (назовем их $B$, $C$ и $D$) можно найти, используя свойства симметрии относительно осей и центра прямоугольника.

Найдем вершину, симметричную вершине $A$ относительно оси $y = 2$. Назовем ее $B$. При симметрии относительно горизонтальной прямой $y=d$ координата $x$ точки не меняется, а новая координата $y'$ вычисляется по формуле $y' = 2d - y$.
Координата $x$ вершины $B$ будет такой же, как у $A$: $x_B = -6$.
Координата $y$ вершины $B$ будет: $y_B = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$.
Таким образом, координаты вершины $B$ — $(-6; 5)$.

Найдем вершину, симметричную вершине $A$ относительно оси $x = -4$. Назовем ее $D$. При симметрии относительно вертикальной прямой $x=c$ координата $y$ точки не меняется, а новая координата $x'$ вычисляется по формуле $x' = 2c - x$.
Координата $y$ вершины $D$ будет такой же, как у $A$: $y_D = -1$.
Координата $x$ вершины $D$ будет: $x_D = 2 \cdot (-4) - (-6) = -8 + 6 = -2$.
Таким образом, координаты вершины $D$ — $(-2; -1)$.

Четвертая вершина $C$ является диагонально противоположной вершине $A$. Её можно найти как точку, симметричную $A$ относительно центра прямоугольника $O(-4; 2)$. Координаты точки $(x', y')$, симметричной точке $(x; y)$ относительно центра $(x_O; y_O)$, вычисляются по формулам $x' = 2x_O - x$ и $y' = 2y_O - y$.
Координата $x$ вершины $C$: $x_C = 2 \cdot (-4) - (-6) = -8 + 6 = -2$.
Координата $y$ вершины $C$: $y_C = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$.
Таким образом, координаты вершины $C$ — $(-2; 5)$.

Мы нашли координаты трех остальных вершин прямоугольника: $(-6; 5)$, $(-2; -1)$ и $(-2; 5)$.

Ответ: $(-6; 5)$, $(-2; -1)$, $(-2; 5)$.