Номер 266, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

266. Осями симметрии ромба являются прямые $x=5$ и $y=7$.

Двумя его соседними вершинами являются точки $A (5; -8)$ и $B (-2; 7)$. Найдите координаты остальных вершин ромба.

266. Осями симметрии ромба являются прямые $x=5$ и $y=7$. Двумя его соседними вершинами являются точки $A (5; -8)$ и $B (-2; 7)$. Найдите координаты остальных вершин ромба.

Осями симметрии ромба являются его диагонали. Согласно условию, диагонали ромба лежат на прямых $x=5$ и $y=7$. Эти прямые взаимно перпендикулярны, что соответствует свойству диагоналей ромба.

Точка пересечения осей симметрии является центром ромба. Найдем координаты центра $O$, найдя точку пересечения прямых $x=5$ и $y=7$. Центр ромба — точка $O(5; 7)$.

Нам даны две соседние вершины: $A(5; -8)$ и $B(-2; 7)$. Обозначим две другие вершины как $C$ и $D$.

Поскольку ромб симметричен относительно своих диагоналей, для каждой вершины ромба должна существовать симметричная ей вершина относительно оси симметрии (если только вершина не лежит на самой оси). Найдем недостающие вершины, используя это свойство.

Нахождение координат первой недостающей вершины

Рассмотрим вершину $A(5; -8)$. Она лежит на оси симметрии $x=5$. Весь ромб, включая все его вершины, должен быть симметричен относительно другой оси, $y=7$. Следовательно, точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $y=7$, также должна быть вершиной ромба. Назовем эту вершину $C(x_C; y_C)$.

При симметрии относительно горизонтальной прямой $y=k$, абсцисса точки не меняется, а ордината вычисляется по формуле $y' = 2k - y$.

$x_C = x_A = 5$

$y_C = 2 \cdot 7 - y_A = 14 - (-8) = 14 + 8 = 22$

Таким образом, координаты вершины $C$ — $(5; 22)$. Эта вершина будет противоположна вершине $A$.

Нахождение координат второй недостающей вершины

Рассмотрим вершину $B(-2; 7)$. Она лежит на оси симметрии $y=7$. Весь ромб должен быть симметричен относительно другой оси, $x=5$. Следовательно, точка, симметричная точке $B$ относительно прямой $x=5$, также должна быть вершиной ромба. Назовем эту вершину $D(x_D; y_D)$.

При симметрии относительно вертикальной прямой $x=k$, ордината точки не меняется, а абсцисса вычисляется по формуле $x' = 2k - x$.

$y_D = y_B = 7$

$x_D = 2 \cdot 5 - x_B = 10 - (-2) = 10 + 2 = 12$

Таким образом, координаты вершины $D$ — $(12; 7)$. Эта вершина будет противоположна вершине $B$.

Координаты остальных вершин ромба — $(5; 22)$ и $(12; 7)$.

Ответ: $(5; 22)$ и $(12; 7)$.