Номер 269, страница 96 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-2; -6)$.

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-2; -6)$.

Поскольку диагонали ромба лежат на координатных осях, они пересекаются в начале координат $O(0; 0)$, и вершины ромба также лежат на осях. Обозначим вершины ромба как $A$, $B$, $C$ и $D$.

Пусть полудиагонали ромба равны $a$ и $b$, где $a > 0$ и $b > 0$. Тогда координаты вершин можно записать следующим образом: $A(a; 0)$ и $C(-a; 0)$ на оси $Ox$, $B(0; b)$ и $D(0; -b)$ на оси $Oy$.

Найдем координаты середин четырех сторон ромба по формуле координат середины отрезка $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$:

Середина стороны $AB$ (между $A(a; 0)$ и $B(0; b)$) имеет координаты: $(\frac{a+0}{2}; \frac{0+b}{2}) = (\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$.

Середина стороны $BC$ (между $B(0; b)$ и $C(-a; 0)$) имеет координаты: $(\frac{0-a}{2}; \frac{b+0}{2}) = (-\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$.

Середина стороны $CD$ (между $C(-a; 0)$ и $D(0; -b)$) имеет координаты: $(\frac{-a+0}{2}; \frac{0-b}{2}) = (-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$.

Середина стороны $DA$ (между $D(0; -b)$ и $A(a; 0)$) имеет координаты: $(\frac{0+a}{2}; \frac{-b+0}{2}) = (\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$.

По условию задачи, середина одной из сторон имеет координаты $(-2; -6)$. Обе координаты отрицательны. Так как мы приняли, что $a>0$ и $b>0$, этому условию удовлетворяют только координаты середины стороны $CD$: $(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$.

Приравняем соответствующие координаты, чтобы найти $a$ и $b$:

$-\frac{a}{2} = -2 \implies a = 4$.

$-\frac{b}{2} = -6 \implies b = 12$.

Теперь, зная значения $a=4$ и $b=12$, мы можем определить координаты всех вершин ромба:

$A(a; 0) = (4; 0)$

$B(0; b) = (0; 12)$

$C(-a; 0) = (-4; 0)$

$D(0; -b) = (0; -12)$

Ответ: Координаты вершин ромба: $(4; 0)$, $(0; 12)$, $(-4; 0)$, $(0; -12)$.