Номер 263, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

263. Докажите, что если прямая, содержащая биссектрису одного из углов параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — ромб.

263. Докажите, что если прямая, содержащая биссектрису одного из углов параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Пусть прямая $l$, которая содержит биссектрису одного из его углов, например, угла $A$ ($∠DAB$), является осью симметрии этого параллелограмма. Нам нужно доказать, что $ABCD$ — ромб.

По определению оси симметрии, при симметричном отражении относительно прямой $l$ параллелограмм $ABCD$ переходит сам в себя. Это означает, что каждая вершина параллелограмма переходит в одну из его вершин.

Поскольку прямая $l$ содержит биссектрису угла $A$, она проходит через вершину $A$. Любая точка, лежащая на оси симметрии, при отражении переходит сама в себя. Следовательно, вершина $A$ переходит в вершину $A$.

Так как $l$ является биссектрисой угла $∠DAB$, то луч $AD$ является симметричным отражением луча $AB$ относительно прямой $l$. Вершина $B$ лежит на луче $AB$. Ее симметричное отражение должно лежать на луче $AD$. Так как при симметрии вершины переходят в вершины, то отражением вершины $B$ может быть только вершина $D$.

Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками. Расстояние от точки $A$ до точки $B$ должно быть равно расстоянию от отражения точки $A$ (то есть самой точки $A$) до отражения точки $B$ (то есть точки $D$). Таким образом, мы получаем равенство длин отрезков: $AB = AD$.

Мы доказали, что у параллелограмма $ABCD$ две смежные стороны $AB$ и $AD$ равны. Вспомним свойства параллелограмма: его противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$ и $AD = BC$.

Объединяя эти равенства, получаем: $AB = AD = BC = CD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Следовательно, параллелограмм $ABCD$ — это ромб.

Ответ: Что и требовалось доказать.