Номер 262, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. На рисунке 76 $AB = AD$, $\angle BAC = \angle DAC$. Докажите, что точки B и D симметричны относительно прямой AC.

Рис. 76

262. На рисунке 76 $AB = AD$, $\angle BAC = \angle DAC$. Докажите, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$.

Рис. 76

Для того чтобы доказать, что точки B и D симметричны относительно прямой AC, необходимо показать, что прямая AC является серединным перпендикуляром к отрезку BD. Это означает, что прямая AC должна быть перпендикулярна отрезку BD ($AC \perp BD$) и пересекать его в середине.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABС$ и $\triangle ADC$.

Исходя из условий задачи, у них:

1. $AB = AD$ (по условию).
2. $\angle BAC = \angle DAC$ (по условию).
3. Сторона $AC$ является общей.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Пусть $O$ — точка пересечения прямых $AC$ и $BD$. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ADO$, которые являются частями треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ соответственно.

В этих треугольниках:

1. $AB = AD$ (по условию).
2. $\angle BAO = \angle DAO$ (поскольку это те же углы, что и $\angle BAC$ и $\angle DAC$).
3. $AO$ – общая сторона.

Таким образом, $\triangle ABO = \triangle ADO$ по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle ADO$ следует равенство их соответствующих элементов:

• $BO = DO$. Это доказывает, что прямая AC делит отрезок BD пополам в точке их пересечения O.
• $\angle AOB = \angle AOD$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ являются смежными, так как они имеют общую сторону $AO$ и вместе образуют развернутый угол вдоль прямой $BD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ$

Поскольку мы доказали, что $\angle AOB = \angle AOD$, мы можем записать:

$2 \cdot \angle AOB = 180^\circ$

Отсюда следует, что $\angle AOB = 90^\circ$.

Это означает, что $AO \perp BD$, а следовательно, и вся прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BD$.

Мы доказали, что прямая $AC$ перпендикулярна отрезку $BD$ и проходит через его середину. Таким образом, $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. По определению осевой симметрии, это означает, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$.

Ответ: Утверждение доказано.