Номер 271, страница 96 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

271. Даны отрезок $MN$ и точка $A$ (рис. 77). Постройте отрезок, симметричный отрезку $MN$ относительно точки $A$.

Рис. 77

271. Даны отрезок $MN$ и точка $A$ (рис. 77). Постройте отрезок, симметричный отрезку $MN$ относительно точки $A$.

Рис. 77

Чтобы построить отрезок, симметричный отрезку $MN$ относительно точки $A$, необходимо найти точки $M'$ и $N'$, которые симметричны точкам $M$ и $N$ соответственно относительно точки $A$, и соединить их отрезком.

Точка $P'$ называется симметричной точке $P$ относительно центра симметрии $A$, если точка $A$ является серединой отрезка $PP'$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $M$ и $A$. На этой прямой отложить от точки $A$ отрезок $AM'$, равный по длине отрезку $MA$, так, чтобы точка $A$ лежала между $M$ и $M'$. Точка $M'$ будет симметрична точке $M$.
2. Аналогично провести прямую через точки $N$ и $A$. На этой прямой отложить от точки $A$ отрезок $AN'$, равный по длине отрезку $NA$, так, чтобы точка $A$ лежала между $N$ и $N'$. Точка $N'$ будет симметрична точке $N$.
3. Соединить точки $M'$ и $N'$ отрезком. Отрезок $M'N'$ — искомый.

Для выполнения построения на клетчатой бумаге можно использовать метод "шагов":

• Чтобы из точки $M$ попасть в точку $A$, необходимо сместиться на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх. Чтобы найти симметричную точку $M'$, нужно выполнить такое же смещение, но уже от точки $A$: смещаемся от $A$ на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх.
• Чтобы из точки $N$ попасть в точку $A$, необходимо сместиться на 3 клетки влево и на 1 клетку вниз. Чтобы найти симметричную точку $N'$, нужно выполнить такое же смещение от точки $A$: смещаемся от $A$ на 3 клетки влево и на 1 клетку вниз.

Для проверки можно использовать координатный метод. Введем систему координат, приняв за единицу измерения сторону клетки. Пусть левый нижний узел видимой части сетки имеет координаты $(0, 0)$. Тогда координаты точек:

$M(2, 1)$, $N(4, 4)$, $A(1, 3)$.

Координаты $(x', y')$ точки, симметричной точке $(x, y)$ относительно центра $A(x_A, y_A)$, вычисляются по формулам:

$x' = 2x_A - x$

$y' = 2y_A - y$

Найдем координаты точки $M'$:

$x_{M'} = 2 \cdot 1 - 2 = 0$

$y_{M'} = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$

Получаем $M'(0, 5)$.

Найдем координаты точки $N'$:

$x_{N'} = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2$

$y_{N'} = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$

Получаем $N'(-2, 2)$.

Соединив точки $M'(0, 5)$ и $N'(-2, 2)$, мы получим искомый отрезок.

Ответ: Чтобы построить отрезок $M'N'$, симметричный отрезку $MN$ относительно точки $A$, необходимо построить точки $M'$ и $N'$, симметричные соответственно точкам $M$ и $N$ относительно точки $A$. Точка $M'$ строится на продолжении отрезка $MA$ за точку $A$ так, что $AM' = MA$. Аналогично строится точка $N'$ на продолжении отрезка $NA$ за точку $A$ так, что $AN' = NA$. Искомый отрезок – это отрезок, соединяющий точки $M'$ и $N'$.