Номер 242, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $CE$ треугольника $ABC$, если $A (-6; 2)$, $B (3; -2)$, $C (-4; 3)$.

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $CE$ треугольника $ABC$, если $A (-6; 2)$, $B (3; -2)$, $C (-4; 3)$.

Высота $CE$ треугольника $ABC$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Таким образом, чтобы найти уравнение прямой, содержащей высоту $CE$, нам нужно:

1. Найти угловой коэффициент прямой $AB$.
2. Используя условие перпендикулярности, найти угловой коэффициент высоты $CE$.
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку $C$ с найденным угловым коэффициентом.

1. Нахождение углового коэффициента прямой $AB$

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек $A(-6; 2)$ и $B(3; -2)$:

$k_{AB} = \frac{-2 - 2}{3 - (-6)} = \frac{-4}{3 + 6} = -\frac{4}{9}$

2. Нахождение углового коэффициента высоты $CE$

Высота $CE$ перпендикулярна стороне $AB$. Условие перпендикулярности двух прямых гласит, что произведение их угловых коэффициентов равно $-1$ (если ни одна из прямых не является вертикальной).

$k_{CE} \cdot k_{AB} = -1$

Отсюда находим угловой коэффициент $k_{CE}$:

$k_{CE} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}$

3. Составление уравнения прямой $CE$

Теперь у нас есть угловой коэффициент прямой $CE$ ($k_{CE} = \frac{9}{4}$) и точка, через которую она проходит, — $C(-4; 3)$. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку $(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Подставим координаты точки $C$ и значение $k_{CE}$:

$y - 3 = \frac{9}{4}(x - (-4))$

$y - 3 = \frac{9}{4}(x + 4)$

Для приведения уравнения к общему виду $Ax + By + C = 0$, умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4(y - 3) = 9(x + 4)$

$4y - 12 = 9x + 36$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

$9x - 4y + 36 + 12 = 0$

$9x - 4y + 48 = 0$

Ответ: $9x - 4y + 48 = 0$