Номер 243, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

243. Точки $F$ и $E$ — середины сторон $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми $AF$ и $AE$.

243. Точки $F$ и $E$ — середины сторон $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми $AF$ и $AE$.

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$, направив ось $Ox$ вдоль стороны $AB$ и ось $Oy$ вдоль стороны $AD$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Для упрощения расчетов можно принять $a=2$ (выбор конкретного значения стороны не повлияет на величину угла). Тогда вершины квадрата будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0)$
• $B(2, 0)$
• $C(2, 2)$
• $D(0, 2)$

Точка $F$ является серединой стороны $BC$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $B$ и $C$:

$F = \left(\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{2 + 2}{2}; \frac{0 + 2}{2}\right) = (2; 1)$.

Точка $E$ является серединой стороны $CD$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $C$ и $D$:

$E = \left(\frac{x_C + x_D}{2}; \frac{y_C + y_D}{2}\right) = \left(\frac{2 + 0}{2}; \frac{2 + 2}{2}\right) = (1; 2)$.

Угол между прямыми $AF$ и $AE$ — это угол между векторами $\vec{AF}$ и $\vec{AE}$. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{AF} = \{x_F - x_A; y_F - y_A\} = \{2 - 0; 1 - 0\} = \{2; 1\}$.

$\vec{AE} = \{x_E - x_A; y_E - y_A\} = \{1 - 0; 2 - 0\} = \{1; 2\}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AF} \cdot \vec{AE}}{|\vec{AF}| \cdot |\vec{AE}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AF} \cdot \vec{AE} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 2 + 2 = 4$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AF}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

$|\vec{AE}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.