Номер 189, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. С помощью правила параллелограмма постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 67.

189. С помощью правила параллелограмма постройте сумму векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, изображённых на рисунке 67.

Для построения суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу параллелограмма необходимо отложить оба вектора от одной точки и на них как на сторонах построить параллелограмм. Диагональ, выходящая из общего начала векторов, и будет их суммой. Поскольку сам рисунок 67 не предоставлен, рассмотрим решение для типичных случаев, которые обычно предлагаются в таких задачах.

а)

В этом случае, как правило, изображены два неколлинеарных вектора, начала которых не совпадают.

1. Выберем произвольную точку $O$ на плоскости.
2. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$ (то есть $\vec{OA}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ и имеет такую же длину: $\vec{OA} \uparrow\uparrow \vec{a}$ и $|\vec{OA}| = |\vec{a}|$).
3. От той же точки $O$ отложим вектор $\vec{OB}$, равный вектору $\vec{b}$.
4. На векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ как на смежных сторонах построим параллелограмм $OACB$. Для этого через точку $A$ проведем прямую, параллельную вектору $\vec{OB}$, а через точку $B$ — прямую, параллельную вектору $\vec{OA}$. Точку их пересечения обозначим $C$.
5. Вектор $\vec{OC}$, исходящий из общего начала $O$, является искомой суммой $\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: Искомый вектор-сумма — это диагональ $\vec{OC}$ построенного параллелограмма $OACB$.

б)

В этом случае обычно изображены два неколлинеарных вектора, отложенные от одной точки $O$. Пусть это векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

1. На векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ как на сторонах достраиваем параллелограмм $OACB$.
2. Проводим диагональ $OC$.

Вектор $\vec{OC}$ является суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Сумма векторов $\vec{a} + \vec{b}$ — это вектор $\vec{OC}$, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах.

в)

В этом случае обычно изображены два коллинеарных и сонаправленных вектора (направленных в одну сторону).

Строго говоря, правило параллелограмма здесь вырождается в прямую линию. Сложение удобнее выполнять по правилу треугольника (последовательного откладывания векторов).

1. От произвольной точки $O$ отложим вектор $\vec{OA} = \vec{a}$.
2. От конца первого вектора, точки $A$, отложим вектор $\vec{AC} = \vec{b}$. Так как векторы сонаправлены, точка $C$ окажется на продолжении отрезка $OA$.
3. Суммирующий вектор $\vec{OC}$ соединяет начало первого вектора с концом второго.

Его направление совпадает с направлением исходных векторов, а его длина равна сумме их длин: $|\vec{OC}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Ответ: Вектор-сумма $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ сонаправлен исходным векторам, а его длина равна сумме их длин.

г)

В этом случае, как правило, изображены два коллинеарных, но противоположно направленных вектора.

Этот случай также является вырожденным для правила параллелограмма.

1. От произвольной точки $O$ отложим вектор $\vec{OA} = \vec{a}$.
2. От конца первого вектора, точки $A$, отложим вектор $\vec{AC} = \vec{b}$. Так как векторы направлены в противоположные стороны, точка $C$ окажется либо на отрезке $OA$, либо на его продолжении за точку $O$.
3. Суммирующий вектор $\vec{OC}$ соединяет начало первого вектора ($O$) с концом второго ($C$).

Его направление совпадет с направлением вектора, большего по модулю (длине), а его длина будет равна модулю разности длин исходных векторов: $|\vec{OC}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$.

Ответ: Вектор-сумма $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ направлен в сторону большего по модулю вектора, а его длина равна модулю разности их длин.