Номер 176, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Четырёхугольник ABCD — прямоугольник (рис. 65).

Укажите вектор, равный вектору: 1) $ \vec{AB} $; 2) $ \vec{BA} $; 3) $ \vec{OC} $; 4) $ \vec{OA} $.

Рис. 65

176. Четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник (рис. 65).

Укажите вектор, равный вектору:

1) $\vec{AB}$;

2) $\vec{BA}$;

3) $\vec{OC}$;

4) $\vec{OA}$.

Рис. 65

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольника: его противоположные стороны параллельны и равны, а диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам.

1) $\vec{AB}$

Два вектора считаются равными, если они коллинеарны (лежат на параллельных прямых или на одной прямой), сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $DC$ параллельна и равна стороне $AB$. Вектор $\vec{DC}$ направлен от точки $D$ к точке $C$. Это направление совпадает с направлением вектора $\vec{AB}$ (от $A$ к $B$). Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и их длины равны ($|\vec{AB}| = |\vec{DC}|$), то эти векторы равны.
Ответ: $\vec{DC}$.

2) $\vec{BA}$

Вектор $\vec{BA}$ направлен от точки $B$ к точке $A$. Рассмотрим вектор $\vec{CD}$, который направлен от точки $C$ к точке $D$. В прямоугольнике $ABCD$ стороны $BA$ и $CD$ параллельны и равны. Направления векторов $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ совпадают. Следовательно, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ равны, так как они сонаправлены и их модули равны.
Ответ: $\vec{CD}$.

3) $\vec{OC}$

В прямоугольнике диагонали точкой пересечения $O$ делятся пополам, значит, $O$ — середина диагонали $AC$, и $AO = OC$. Вектор $\vec{OC}$ направлен от точки $O$ к точке $C$. Вектор $\vec{AO}$ направлен от точки $A$ к точке $O$. Поскольку точки $A, O, C$ лежат на одной прямой, а $O$ — середина $AC$, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ имеют одинаковое направление и равные длины. Следовательно, они равны.
Ответ: $\vec{AO}$.

4) $\vec{OA}$

Вектор $\vec{OA}$ направлен от точки $O$ к точке $A$. Его длина равна половине диагонали $AC$. Рассмотрим вектор $\vec{CO}$, который направлен от точки $C$ к точке $O$. Так как $O$ — середина отрезка $AC$, длины векторов $\vec{OA}$ и $\vec{CO}$ равны ($|\vec{OA}| = |\vec{CO}|$). Они лежат на одной прямой и направлены в одну сторону (от $C$ в сторону $A$). Следовательно, векторы равны.
Ответ: $\vec{CO}$.