Номер 86, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Около правильного треугольника со стороной $a$ описана окружность. Около этой окружности описан квадрат. Найдите радиус описанной около квадрата окружности.

86. Около правильного треугольника со стороной $a$ описана окружность. Около этой окружности описан квадрат. Найдите радиус описанной около квадрата окружности.

Решение задачи можно разбить на три этапа.

1. Нахождение радиуса окружности, описанной около правильного треугольника.
Радиус $R_1$ окружности, описанной около правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$, определяется по формуле:
$R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$

2. Определение стороны квадрата.
Согласно условию, около окружности с радиусом $R_1$ описан квадрат. Это означает, что данная окружность является вписанной в этот квадрат. Сторона квадрата $b$ равна диаметру вписанной в него окружности.
$b = 2 \cdot R_1 = 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$

3. Нахождение радиуса окружности, описанной около квадрата.
Искомый радиус $R_2$ — это радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $b$. Этот радиус равен половине диагонали $d$ квадрата.
Диагональ квадрата вычисляется по формуле $d = b\sqrt{2}$.
Следовательно, радиус $R_2$ равен:
$R_2 = \frac{d}{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2}$
Подставим в эту формулу найденное ранее значение стороны квадрата $b$:
$R_2 = \frac{(\frac{2a}{\sqrt{3}})\sqrt{2}}{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Для получения окончательного ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$R_2 = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$